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悬链线

悬链线悬链线（Catenary）是一种常用曲线，物理上用于描绘质量均匀分布而不可延伸的长链悬挂在两支点间，因均匀引力作用下而形成向下弯曲之曲线，因此而得名。虽然弯曲的形状看似二次方的抛物线，但是1638年在伽利略的《Two New Sciences》中证明因为绳子的张力会随著吊挂重量的不同，在底端为最小、愈高的地方愈大，如此一来，它所形成的形状就不是抛物线。随后在1670年胡克根据力学推导出悬链线的数学特性。1691年莱布尼兹、惠更斯、约翰·白努利近一步推导出数学模型。它的公式为： formula_1或者简单地表示为formula_2 其中cosh是双曲余弦函数，formula_3 是一个由绳子本身性质和悬挂方式决定的常数，formula_4轴为其准线。具体来说，formula_5，其中formula_6是重力加速度，formula_7是线密度（假设绳子密度均匀），而formula_8是绳子上每一点处张力的水平分量，它取决于绳子的悬挂方式；若绳子两端在同一水平面上，则下面的方程决定了formula_3 formula_10 其中L是绳子总长的一半，d是端点距离的一半。方程的推导. 表达式的证明如右图，设最低点formula_11处受水平向左的拉力formula_12，右悬挂点处表示为formula_13点，在formula_14弧线区段任意取一段设为formula_15点，则formula_16受一个斜向上的拉力formula_17，设formula_17和水平方向夹角为formula_19，绳子的质量为formula_20,受力分析有： formula_21； formula_22， formula_23， formula_24，　其中formula_25是右段formula_16绳子的长度，formula_27是绳子线重量密度，formula_28为切线方向，记formula_29, 代入得微分方程formula_30; 利用弧长公式formula_31; 所以formula_32; 再把formula_25代入微分方程得formula_34 对于formula_35设formula_36微分处理得 formula_37 其中formula_38; 对(2)分离常量求积分 formula_39 得formula_40，即formula_41 其中formula_42为反双曲函数; 当formula_43时，formula_44；带入得formula_45；整理得formula_46 工程中的应用. 悬索桥、双曲拱桥、架空电缆都用到悬链线的原理。在工程中有一种应用，formula_3称作悬链-{}-系数。如果我们改变公式的写法，会给工程应用带来很大帮助，公式及图像如下： formula_48 还有以下几个公式，可能也有用： formula_49 formula_50 formula_51 其中formula_52是曲线中某点到0点的链索长度，formula_53是该点的正切角，formula_54是0点处的水平张力，formula_55是链索的单位重量。利用上述公式即能计算出任意点的张力。外部连结. -{H|zh-hans:重定向;zh-hant:重新导向;}--{H|zh-cn:字符;zh-tw:字元;}--{H|zh-hans:文件; zh-hant:档案;}--{H|zh-hans:快捷方式; zh-hant:捷径;}--{H|zh-hans:项目;zh-hant:专案;zh-tw:计划;zh-hk:计划;zh-mo:计划;}--{H|zh-cn:计算机; zh-sg:电脑; zh-tw:电脑;}-

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