代数数
代数数
代数数是代数与数论中的重要概念，指任何整系数多项式的复根。
所有代数数的集合构成一个域，称为代数数域（与定义为有理数域的有限扩张的代数数域同名，但不是同一个概念），记作formula_1或formula_2，是复数域formula_3的子域。
不是代数数的实数称为超越数，例如圆周率。几乎所有的实数和复数都是超越数，这是因为代数数的集合是可数集，而实数和复数的集合是不可数集之故。代数数的集合是可数的，是因为整系数多项式的集合是可数的，代数数的集合是为所有的整系数多项式的解集合的联集，且可数无限多的可数集的联集是可数的之故。
定义.
代数数可以定义为“有理系数多项式的复根”或“整系数多项式的复根”。第一个定义可以具体描述为：
设formula_4为复数。如果存在正整数formula_5，以及formula_6个有理数formula_7，并且formula_8，使得：
formula_9
则称formula_4是一个代数数。
这个定义中，由于formula_11可以推出formula_12，其中整数formula_13分别等于formula_14，formula_15是formula_6个有理数formula_7分母的最小公倍数。所以“存在有理系数多项式使得formula_4是其复根”可以推出“存在整系数多项式使得formula_4是其复根”。另一方面，由于整数集合是有理数集合的子集，所以“存在整系数多项式使得formula_4是其复根”也可以推出“存在有理系数多项式使得formula_4是其复根”。这说明两个定义是等价的。
例子.
任何有理数formula_22都是多项式formula_23的根，因此每个有理数都是代数数。所有形同formula_24的无理数也是代数数，因为它是多项式formula_25的根。例如formula_26和formula_27是代数数，因为它们分别是方程formula_28和formula_29的根。
黄金比率formula_30是代数数，因为它是formula_31的根。二次无理数，也就是二次方程formula_32的根，是代数数。虚数单位formula_33也是代数数，因为是formula_34的根。n次单位根，顾名思义，是formula_35的根，因此是代数数。高斯整数也是代数数，例如高斯整数formula_36是多项式formula_37的根。
所有规矩数（即可以从单位长度的线段出发，通过尺规作图法做出的线段的长度数值）都是代数数。因为建立直角坐标系后可以证明，标准的尺规作图步骤的每一步都相当于计算一个次数不超过2的多项式方程，因此能够通过有限步做出的线段长度必然是有限个有理系数多项式迭代后得到的多项式的根，从而是代数数。
自然对数的底formula_38和圆周率formula_39都不是代数数。
性质.
代数数不一定是实数，实数也不一定是代数数。代数数的集合是可数的。证明的方法是将所有整系数的多项式归类。首先定义formula_40为所有formula_5次整系数多项式的集合。其次定义formula_42为系数绝对值的和等于formula_43的formula_5次整系数多项式的集合：
formula_45
formula_42中多项式的任何系数至多有formula_47个可能性，最高次项系数至多有formula_48个可能性，因此这样的多项式个数不超过formula_49。每个多项式至多有formula_5个根。如果将所有formula_42中多项式的根的集合记为formula_52，则formula_52的元素个数不超过formula_54，即为有限集。
整系数多项式的集合formula_55可以写为常数多项式和formula_42的并集：
formula_57
而常数多项式没有根。所以，任一代数数必然是某个formula_42中的多项式的根，即属于formula_52。反之任何formula_52中的元素按定义必然是代数数。因此代数数的集合formula_1也可以写为所有formula_52的并集：
formula_63
而formula_64是可数集。集合formula_1是可数个有限集的并集，因此是可数的。
由于代数数的集合formula_1是可数集，因此在复平面上，代数数集合的勒贝格测度为零。在此意义上，可以说“几乎所有”的复数都不是代数数。
给定一个代数数z，在所有以formula_4为根的有理系数多项式中，存在唯一的一个首一多项式，其次数小于等于任何其他以formula_4为根的多项式。这个多项式称为极小多项式。如果极小多项式的次数为formula_5，则称该代数数为formula_5次代数数。一次的代数数就是有理数。
所有的代数数都是可计算数，因此是可定义数。
代数数域.
两个代数数的和、差、积与商（约定除数不为零）也是代数数。可以验证，装备了有理数的加法、乘法运算的代数数集合formula_1构成一个域，有时也记为formula_2。每一个系数为代数数的多项式方程的根也是代数数。因此，代数数域是代数封闭域。实际上，它是含有有理数域的最小的代数封闭域，称为有理数域的代数闭包。
由根式定义的数.
任何可以从整数或有理数通过有限次四则运算和正整数次开方运算得到的数都是代数数。反之则不成立：有些代数数不能用这种方法得出，这些代数数是次数为5次或超过5次的多项式的根。这是伽罗瓦理论的结果（参见五次方程和阿贝尔-鲁菲尼定理）。一个例子是formula_73的唯一实根（大约为formula_74）。
代数整数.
代数整数是任何整系数首一多项式的根。显然代数整数是代数数的一部分，但代数数不全是代数整数。所有整数都是代数整数，其余的有理数则不是代数整数。代数整数的集合记作formula_75，是代数数的子集。在某些上下文中，为了与代数整数区别，整数也被称作有理整数。
两个代数整数的和、差与积也是代数整数，这就是说，装备了整数的加法、乘法运算的代数整数集合构成了一个环，因此formula_75代数中也被称为代数整数环。
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