绝对值
绝对值
在数学中，实数formula_1的绝对值或模，记号为formula_2，是指去掉formula_1的符号所得的非负值。若formula_1是正数，则formula_5； 若formula_1是负数（则formula_7是正数），则formula_8；零的绝对值为零（formula_9）。例如，formula_10和formula_11的绝对值都是formula_10。绝对值可看作该数和零之间的距离。
绝对值的定义也可以从实数扩展到复数、四元数、有序环、域、向量空间等范围。在数学和物理中，绝对值与量、距离、范数等概念密切相关。
实数的绝对值.
若实数 formula_13，则在两个相互对称的数 formula_1 和 formula_7 中恰有一个数大于 0，这个大于 0 的数就称为数 formula_1 和数 formula_7 的绝对值，记为 formula_18 ，0 的绝对值为 0 。
一个数的绝对值最小值为0，某数的绝对值表示为 formula_19 某数 formula_19 。对于所有实数 formula_21 ：若 formula_21 是负数， formula_23 （即是 formula_24 是一个正数）；若 formula_21 非负， formula_26 本身。即：
formula_27
一个数的绝对值可以视为该数在数线上的点和零的距离。例如 3 同时是 3 和 -3 的绝对值。
绝对值有以下性质：
复数的绝对值.
复数的绝对值定义为：若formula_40，则 formula_41（见平方根和共轭复数）。它符合以上的六项性质，但以下的三项就不成立：
但此时有
最后两道式子常用于计算涉及复数绝对值的不等式。
有序环上的绝对值.
绝对值的定义可以照搬到有序环上。定义如下：
formula_50
其中 formula_7 是 formula_1 的加法反元素，而 0 是有序环的加法单位元素。
域上的绝对值.
在抽象的域上，我们用绝对值的基本性质来推广定义。一个域 formula_53 上的绝对值是一个函数 formula_54，满足以下四条公理:
由以上公理可以导出 formula_55。距离函数 formula_56 赋予 formula_53 度量空间结构。
如果将定义中的三角不等式换作以下较强的形式（有时又叫做强三角不等式）
formula_58
其中formula_59是积分常数。
演算法.
C 语言关于绝对值的函数有： codice_1, codice_2, codice_3（在 C99 中），codice_4、codice_5 与 codice_6 函数计算一个对象的绝对值。当输入值不是最大负整数时，很容易写出计算绝对值的巨集或函数。
以下巨集可接受整数或浮点数：
如果以函数计算，需要写多个函数，多载来处理不同数据类型：
int abs (int);
float abs (float);
double abs (double);
int abs (int i) {
if (i>0) {
return i;
} else {
return -i;
关于浮点数的绝对值演算法就要用点技巧，因为要为无穷大及 NaN（Not a Number）撰写特别的程式码。
在 Pascal、Fortran 和 Matlab 语言里，取得绝对值的函数是 codice_7，可以计算整数、实数，以及复数。
如以组合语言撰写，应有可能以三行指令在暂存器内完成绝对值的判断与转换演算法，以下例子是 x86 结构上的 32 位元暂存器，采英特尔语法。
cdq
xor eax, edx
sub eax, edx
codice_8 指令将带号位元（sign bit）的 codice_9 转成 codice_10。如果 codice_9 是非负值，那 codice_10 变成 0，接下来的两个指令会没有影响，codice_9 将不变。如果 codice_9 是负数，那么 codice_10 会变成 0xFFFFFFFF ，或是 -1。接下来的两个指令会变成倒转的二补数，并从 codice_9暂存器中取得负数的绝对值。
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