平方根 在数学中，一个数formula_1的平方根formula_2指的是满足formula_3的数，即平方结果等于formula_1的数。例如，4和-4都是16的平方根，因为formula_5。 任意非负实数formula_1都有唯一的非负平方根，称为算术平方根或-{zh-cn:主平方根; zh-tw:算术平方根;}-（），记为formula_7，其中的符号formula_8称作根号。例如，9的算术平方根为，记作 formula_9，因为formula_10并且3非负。被求平方根的数称作被开方数（），是根号下的数字或者表达式，即例子中的数字9。 正数formula_1有两个互为相反数的平方根：正数formula_7与负数formula_13，可以将两者一起记为formula_14。 负数的平方根在复数系中有定义。而实际上，对任何定义了开平方运算的数学物件都可考虑其“平方根”（例如矩阵的平方根）。 历史. 耶鲁大学的巴比伦藏品YBC 7289是一块泥板，制作于前1800年到前1600年之间。泥板上是一个画了两条对角线正方形，标注了formula_15的六十进制数字 1;24,51,10。十六进制的 1;24,51,10 即十进制的 1.41421296，精确到了小数点后5位（1.41421356...）。 莱因德数学纸草书大约成书于前1650年，内容抄写自更早年代的教科书。书中展示了埃及人使用反比法求平方根的过程。 古印度的《绳法经》大约成书于前800年到前500年之间，书中记载了将2的平方根的计算精确到小数点后5位的方法。 古希腊的《几何原本》大约成书于前380年，书中还阐述了如果正整数不是完全平方数，那么它的平方根就一定是无理数——一种无法以两个整数的比值表示的数（无法写作"m/n"，其中"m"和"n"是整数）。 中国的《书》成书于汉朝（约前202年到前186年之间），书中介绍了使用盈不足术求平方根的方法。 古代未有划一的平方根符号时，人们通常使用他们语言内开方这个字的首个字母的变型作为开方号。 中世纪时，拉丁语中的（正方形边）的首个字母“L”被不少欧洲人采用；亨利·布里格斯在其著作《》中则用横线当成的简写，在被开方的数下画一线。 最有影响的是拉丁语的（平方根），1220年Leconardo在《""》中使用℞（R右下角的有一斜划，像P和x的合体）；⎷（没有上面的横划）是由克里斯多福·鲁登道夫在1525年的书"Coss"首次使用，据说是小写r的变型；后来数学家笛卡尔给其加上线括号，但与前面的方根符号是分开的（即“⎷‾”），因此在复杂的式子中它显得很乱。直至18世纪中叶，数学家卢贝将前面的方根符号与线括号一笔写成，并将根指数写在根号的左上角，以表示高次方根（当根指数为2时，省略不写），从而形成了现在人们熟知的开方运算符号formula_16。 实数. formula_1的平方根亦可用指数表示，如： formula_18 formula_1的绝对值可用formula_20的算数平方根表示： formula_21 正数. 若正整数formula_1是平方数，则其平方根是整数。若正整数formula_1不是平方数，则其平方根是无理数。 对于正数formula_1、formula_2，以下式成立： formula_26 负数. 负数的平方根在复数范围内同样有定义。 负数有两个平方根，它们为一对共轭的纯虚数。 以虚数单位formula_27可将负数formula_1的平方根表示为 formula_29，其中formula_30。 例如-5的平方根有两个，它们分别为formula_31和formula_32。 对于负数formula_1、formula_2，以下式成立： formula_35 负数与复数. 正数和负数的平方都是正数，0的平方是0，因此负数没有实数平方根。然而，我们可以把我们所使用的数字集合扩大，加入负数的平方根，这样的集合就是复数。首先需要引入一个实数集之外的新数字，记作formula_36（也可以记作formula_37，比如电学场景中formula_36一般表示电流），称之为虚数单位，定义即为formula_39，故formula_36是-1的平方根，而且formula_41，所以formula_42也是-1的平方根。通常称-1的算术平方根是formula_36，如果formula_1是任意非负实数，则formula_45的算术平方根就是： formula_46 之所以等式右侧（包括其对应的负值）是formula_45的算术平方根，是因为： formula_48 对于任何一个非零的复数formula_49都存在两个复数formula_50使得formula_51。 虚数的算术平方根. 虚数formula_36的算术平方根可以根据以下公式计算： formula_53 这个公式可以通过用代数方法推导，只需找到特定的实数formula_54和formula_55，满足 formula_56 就可以得到方程组 formula_57 的解： formula_58 其中，算术平方根即为 formula_59 这个公式还可以通过棣莫弗公式得到，设 formula_60 就可以推出 formula_61 复数的算术平方根. 首先，我们将复数formula_62 看作是平面上的点，即笛卡尔坐标系中的formula_63点。这个点也可以写作极坐标的formula_64，其中formula_65，是该点到坐标原点的距离，formula_66则是从原点到该点的直线与实数坐标轴（formula_1轴）的夹角。复分析中，通常把该点记作formula_68。如果 formula_69 那么我们将formula_49的算术平方根定义为： formula_71 因此，平方根函数除了在非正实数轴上以外是处处全纯的。formula_72 的泰勒级数也适用于复数formula_73。 上面的公式还可以用三角函数的形式表达： formula_74 代数公式. 如果使用笛卡尔坐标的形式表达复数 "z"，其算术平方根可以使用如下公式： formula_75的平方根，选取formula_76 formula_77 例子：求formula_78至6位有效数字。 formula_79 formula_80 formula_81 formula_82 formula_83 formula_84 因此formula_85. 连分数. 平方根可以简便地用连分数的形式表示，关于连分数请见连分数，其中1至20的算术平方根分别可用连分数表示为： formula_86 formula_87 formula_88 formula_89 formula_90 formula_91 formula_92 formula_93 formula_94 formula_95 formula_96 formula_97 formula_98 formula_99 formula_100 formula_101 formula_102 formula_103 formula_104 formula_105 连分数部分均循环，省略号前为2或4个循环节。 巴比伦方法. noprint relarticle mainarticle">主条目： 巴比伦求平方根的算法实际上很简单：（假设要求一个数N的平方根） 重复的算术运算. 这个方法是从佩尔方程演变过来的，它通过不断减去奇数来求得答案。 尺规作图. 问题. 给定线段"AB"和1，求一条长为formula_113的线段。 证明. 将整个过程搬到直角座标上，已知"AC"=1，设 另也可参见射影定理。