Davis-Kahan定理
Davis-Kahan定理（Davis-Kahan theorem）是随机矩阵分析中的一个重要的基础性定理。它的基本内容是，如果两个矩阵在某种合适的模之下相近，且有足够的特征裂隙，那么它们相应的特征向量子空间也相似。
定理内容.
两个线性空间的夹角.
考虑两个单位列正交矩阵 formula_1 （“单位列正交”意为：其满足 formula_2） 之列向量分别张成的线性子空间，那么这两个子空间的张角，是由一个矩阵所表示的（显然这是如下熟知的特殊情形之概念上的拓展： formula_3 时，通常用一个数值表示两个向量之间的张角），式子如下：
formula_4
上式中，“formula_5”是一个数学运算，表示线性空间之间的张角。
定理的经典版本.
有了线性空间之间张角的定义，便可以开始陈述定理内容。设 formula_6是两个对称的随机矩阵，其特征值记为 formula_7 和 formula_8。对任何 formula_9 ，考虑第 formula_10 这总共 formula_11 个特征值之对应的特征向量所张成的线性子空间，将它记为 formula_12，类似地定义 formula_13。
下面定义定理中最重要的量，即特征裂隙 formula_14：
formula_15
定理的结论是，如果 formula_16 ，那么有如下不等式：
formula_17
其中 formula_18 表示Frobenius范数，即将矩阵的所有元素平方求和后，再开根号。
定理的Yu-Wang-Samworth变体版本.
Davis-Kahan定理的经典版本有一些可改进之处，主要在于正特征裂隙假设，是一个同时牵涉两个矩阵的特征值 formula_19 和 formula_20 的条件，这对其应用的方便性造成负面影响。余怡、王腾耀和Richard Samworth于2014年发现如下变体，其最大特色是其只需其中一个矩阵满足正特征裂隙条件。
沿用上面经典版本定理的记号，另记 formula_21 ，并用如下的特征裂隙条件代替原定理中的 formula_16：
formula_23
Yu-Wang-Samworth定理的结论，按经典版的 formula_24 语言，陈述如下：
formula_25
其中，formula_26 表示矩阵的谱范数，即其最大奇异值。
进一步，按矩阵论语言，有如下更显式的结论：存在一个正交矩阵 formula_27 （“正交”是指其满足 formula_28），使得：
formula_29
注意事项.
虽然Davis-Kahan定理大多数的应用是套用到随机矩阵上，但要注意定理本身并不局限于随机矩阵，无论定理内容中出现的矩阵是常数矩阵还是随机矩阵（抑或是一个确定一个随机），只要假设条件满足，定理的结论都成立（而非仅以大概率成立或渐近成立）。
应用.
Davis-Kahan定理拥有广泛的应用，是谱聚类方法的理论基础，在统计学习和统计网络分析的很多涉及聚类问题的研究中，占据重要地位。
参见.
特征裂隙
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