模
模
在数学的抽象代数中，环上的模(module over a ring)的概念是对向量空间概念的推广，这里不再要求向量空间里的纯量的代数结构是体，进而放宽纯量可以是环。
因此，模同向量空间一样是加法交换群；在环元素和模元素之间定义了乘积运算，并且环元素和模元素的乘积是符合结合律的和分配律的。
模非常密切的关联于群的表示理论。它们还是交换代数和同调代数的中心概念，并广泛的用于代数几何和代数拓扑中。
定义.
假设"R" 是环(ring)且1"R" ∈ "R"，1"R" 是其乘法运算的单位元素，则左"R"-模包括一个交换群("M", +)，以及一个映射(或运算)⋅ : "R" × "M" → "M" (叫做纯量乘法或数积，通常把此运算的值 ("r","x") 记作 "rx" 或是 "r" ⋅ "x"，"r" ∈ "R" 且 "x" ∈ "M" ) ，并且满足以下条件
对所有"r","s" ∈ "R", "x","y" ∈ "M",
有数学家的左模定义并不要求环有单位乘法元素1"R"，所以他们的定义只含以上前三个条件而排除了第四个条件，并把以上的定义称为"带单位元(1"R" )的左模"。
一个左"R"-模"M" 记作"R""M"，类似的右"R"-模"M" 记作"M""R"。
一个右"R"-模"M"或"M""R"与左"R"-模的定义相似，只是环的元素在右边，即其纯量乘法是⋅ : "M" × "R" → "M"。在左"R"-模的定义中，环的元素"r" 和"s" 是在"M" 的元素"x" 的左边。若"R" 是可交换的，则左"R"-模与右"R"-模是一样的，简称为"R"-模。
若"R" 是一个域则"R"-模就是"R"-向量空间。模是向量空间的推广，有很多与向量间相同的性质，但通常没基底。
子模及同态.
假设"M"是左"R"-模兼"N"是"M"的子集。如果对于所有"n" ∈ "N"及"r" ∈ "R"，乘积"rn" ∈ "N"（若是右模，"nr"），则"N"是"R""M"的子模（或更准确地，"R"-子集）。
若"M"和"N"是左"R"-模，若映射
"f" : "M" -> "N"有对所有"m, n" ∈ "M"及"r, s" ∈ "R"，"f"("rm" + "sn") = "rf"("m") + "sf"("n")，则称映射
"f"为"R"-模同态。像其他同态，模同态保存了模的结构。
其他定义及表达法.
若"M"是左"R"-模，则一个"R"中元素"r"之"作用"定义为映射"M" → "M"，它将每个"x"映至"rx"（或者在右模的情况是"xr"），这必然是阿贝尔群（"M",+）的群自同态。全体"M"的自同态记作EndZ("M")，它在加法与合成下构成一环，而将"R"的元素"r"映至其作用则给出从"R"至EndZ("M")之同态。
如此的环同态"R" → EndZ("M")称作"R"在阿贝尔群"M"上的一个"表示"。左"R"-模的另一种等价定义是：一个阿贝尔群"M"配上一个"R"的表示。
一个表示称作"忠实"的，若且唯若"R" → EndZ("M")是单射。以模论术语来说，这意谓若"r"是"R"的元素，且使得对所有"M"中的"x"都有"rx"=0，则"r"=0。任意阿贝尔群皆可表成整数环"Z"或其某一商环"Z/nZ"的忠实表示。
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