测地线 测地线（英语：Geodesic）又称大地线或短程线，数学上可视作直线在弯曲空间中的推广；在有度规定义存在之时，测地线可以定义为空间中两点的局域最短路径。测地线（）的名字来自对于地球尺寸与形状的大地测量学（）。 三维空间中的曲面. 在大地线上，各点的主曲率方向均与该点上曲面法线相合。它在圆球面上为大圆弧，在平面上就是直线。在大地测量中，通常用大地线来代替法截线，作为研究和计算椭球面上各种问题。测地线是在一个曲面上，每一点处测地曲率均为零的曲线。 相关定理及推论. 曲面上非直线的曲线是测地线的充分必要条件是除了曲率为零的点以外，曲线的主法线重合于曲面的法线。 如果两曲面沿一曲线相切，并且此曲线是其中一个曲面的测地线，那么它也是另一个曲面的测地线。 过曲面上任一点，给定一个曲面的切方向，则存在唯一一条测地线切于此方向。 在适当的小范围内联结任意两点的测地线是最短线，所以测地线又称为短程线。 微分几何的测地线. 在一个黎曼流形formula_1上，一条曲线formula_2若符合常微分方程 formula_3 就称之为测地线。其中formula_4是formula_1上的列维-奇维塔联络。方程左边为曲线在流形上的加速度向量，所以方程是说测地线是在流形上加速度为零的曲线，也因此测地线必定是等速曲线。 以上方程用局部座标表示为 formula_6 其中formula_7是formula_1的黎曼度量的克里斯托费尔符号。 唯一性及存在性. 给定流形上一点formula_9及点上一个非零的切向量formula_10，因测地线方程是二阶常微分方程，柯西－利普希茨定理指出存在区间formula_11，使得方程在此区间上存在唯一解 formula_12 满足初值条件formula_13,formula_14。但因为方程是非线性的，故未必在实数域formula_15上存在解。 从上述方程解的唯一性，可知若两条测地线经过同一点，且在此点上有相同的切向量，则这两条测地线是同一条测地线中的两部份。 设formula_16是一条测地线，formula_17及起点的切向量formula_18改变得足够细微，则存在新的测地线符合新的初值条件，且仍然定义在formula_19上。这个结果用严格语言叙述为： 给定测地线formula_16。在切丛formula_21中存在formula_18的一个邻域formula_23，使得对任何formula_24，都存在测地线formula_25满足初值条件formula_26。 从这结果可以得出，如果formula_27是定义在有界开区间formula_28上的测地线，对它的起点和此点上的切向量改变得足够细微的话，则存在一条新的测地线满足新的初值条件，并且定义在接近整条formula_28上。 如果对于任意初始条件formula_13,formula_14都存在一条定义在整条实数线上的测地线formula_32，则称formula_1是测地完备的。霍普夫－里诺定理指出，若formula_1是一个完备的度量空间，则formula_1是测地完备的。（formula_1上两点间的度量，是连接此两点的所有曲线的长度的最大下界。） 局部最短性. 在黎曼流形formula_1上连接两点之间的等速曲线，若其长度等于两点间的距离，即这曲线是两点间最短的曲线，那么这曲线必定是测地线。然而，连接两点间的测地线未必最短。比如在单位球面上，一条长度大于formula_38的测地线，不是连接这条线的两端点间的最短曲线。因为球面上的测地线都是大圆的弧，若测地线长度大于formula_38，那么测地线所在大圆上的另一条弧，其长度会小于formula_38，是连接这两点的最短测地线。 连接两点间最短测地线，也未必唯一。比如单位球面上两个对径点（即球面和一条直径的两个交点）之间，有无数条最短测地线相连。然而，流形上任何一点都存在一个邻域，使得该点和邻域上其他点之间，都有唯一的最短测地线相连（不计测地线的速度）。因此流形上任何测地线都是局部最短的。 对流形上一点formula_9，一条从formula_9出发的单位速的测地线formula_43，考虑所有的formula_44使得formula_45，即是说formula_46是一条最短测地线。这集合可以是formula_47或formula_48。若是前者，称formula_49是formula_9沿著formula_27的割点，那么对所有formula_52,formula_46是从formula_9点到formula_43的唯一最短测地线；若是后者，则对所有formula_44,formula_46都是formula_9点到formula_43的唯一最短测地线。formula_9沿著全部从formula_9出发的测地线的割点组成的集合，称为formula_9的割迹formula_63。 度量几何的测地线. 一般的度量空间formula_64中，测地线formula_27是从区间formula_66的映射，使得对任何formula_67，都存在区间formula_68，使得formula_69包含formula_70在formula_28中一个开邻域，并且对任何formula_72有 formula_73 换言之，formula_74是连接其上任何两点的一条最短路线。 如果一个度量空间任何两点都有测地线相连，称为测地度量空间。 度量空间上的测地线的性质，和微分几何有些不同： 两条测地线即使有部分线段重合，却未必属于同一条测地线。例如在formula_75上定义度量（曼哈顿距离） formula_76 设formula_77是从（0,0）到（1,0）再到（1,1）的两条线段所组成，而formula_78是从（0,0）到（2,0）的线段。这两条都是测地线，且在（0,0）到（1,0）一段重合，但明显不属同一条测地线，因为这两条线过了点（1,0）之后就分开。 一个测地度量空间中，在一点上未必存在一个邻域，使得该点其邻域其他点都有唯一的测地线。在上例的度量空间中，两点间如果两个座标都不同，则有无限多条测地线连接两点。例如从（0,0）到（2,1），以下都是连接这两点的最短测地线：任取一数formula_79， formula_80 就是先向右走到formula_81，再向上走到formula_82，再向右走到（2,1）。在任何一点的任何邻域中，和该点两个座标都不同的点有无数个，所以从该点到这些点之间，最短测地线都不是唯一。