全集 数学上，特别是在集合论和数学基础的应用中，全类（Universe，若是集合，则为全集）大约是这样一个类，它（在某种程度上）包含了所有的研究对象和集合。 在特定场合下. 这个一般概念有数个精确的版本。最简单的可能就是，任意集合都可以是全集。当研究一个特定集合的时候，这个集合就是全集。若研究实数，则所有实数的集合实数线formula_1就是全集。在1870年代和1880年代，康托尔第一次发展现代朴素集合论和势的概念以应用于实分析，这时他默认地使用著的全集就是实数线formula_1。康托尔一开始关心的也只是formula_1的子集。 这种全集概念在文氏图的应用中有所反映。在文氏图中，所有的操作按例都是在一个表示全集formula_4的大长方形内进行。集合通常表示为圆形，但这些集合只能是"formula_4"的子集。集合formula_6的补集则为长方形中表示"formula_6"的圆形的外面的部分。严格地说，这是"formula_6"对"formula_4"的"相对补集'"formula_10；但在"formula_4"是全集的场合下，这可以被当成是"formula_6"的"绝对补集'"formula_13。同样的，有一个称为空交集的概念，即零个集合的交集（指没有集合，而不是空集）。要是没有全集，空交集就会是所有东西组成的集合，这一般被认为是不可能的；但有了全集，空交集可以被当成是有条件（即"formula_4"）下的所有东西组成的集合。 在基于布尔格的代数方法研究基础集合理论时，这种惯例非常有用。但对公理化集合论的一些非标准形式并非如此，例如新基础集合论，这里所有集合的类并不是布尔格，而仅仅是相对有补格。相反，"formula_4"的幂集，即"formula_4"的所有子集组成的集合，是一个布尔格。上述的绝对补集是布尔格中的补运算；而空交集"formula_4"则作为布尔格中的最大元（或空交）。这里，适用于补运算、交运算和并运算（集合论中的并集）的德·摩根律成立，而且对空交和空并（即空集）也成立。 在一般数学中. 然而，当考虑过给定集合formula_18的子集（在康托尔的例子中，formula_19），可能就会进一步关心"formula_18"的子集组成的集合。 （例如："formula_18"上的一个拓扑就是一个"formula_18"的子集组成的集合。） 这些不同的"formula_18"的子集组成的集合本身，一般而言并不是"formula_18"的子集，却是"formula_18"的幂集formula_26的子集。当然，这还没有完；可以进一步考虑"formula_18"的子集组成的集合所组成的集合，等等。另一个方向是：可以考虑笛卡尔积formula_28，或从"formula_18"映射到其自身的函数。接著，还可以考虑笛卡尔积上的函数，或从"formula_18"映射到formula_31的函数，等等。 这样，尽管主要关心的是"formula_18"，仍然需要一个比"formula_18"大很多的全集。顺着上面的思路，可能需要"formula_18"上的超结构。这可以通过结构递归来定义，如下： formula_51 注意到，无论初始集合"formula_18"如何，空集总是属于formula_37。重定义空集为冯·诺伊曼序数formula_54。则formula_55，是仅含有空集为元素的集合，属于formula_40；定义为冯·诺伊曼序数formula_57。类似的，formula_58属于formula_59，则formula_55和formula_58的并集formula_62也属于该集合；定义为冯·诺伊曼序数formula_63。重复这个过程，所有的自然数都通过其冯·诺伊曼序数在超结构中表现出来。然后，若formula_64和formula_65属于这个超结构，则formula_66（这个集合表示了有序对formula_67）也属于它。从而，这个超结构将包含各种所想要的笛卡尔积。而且，这个超结构也包含各种函数和关系，因为他们可以被表示为笛卡尔积的子集。以及，还能够得到有序"n"元组，表示定义域为冯·诺伊曼序数formula_68的函数。等等。 所以，就算仅从formula_69出发，也可以构造大量的用于数学研究的集合，它们都是在{}上的超结构里的某个元素。但是，这样formula_70的每个元素都会是有限集合。每个自然数都属于formula_70，但“所有”自然数的集合formula_72不属于formula_70（尽管它是formula_70的“子集”）。实际上，"formula_18"上的超结构包含了所有的遗传有限集合。这样，它可以被认为是“有限主义数学的全集”。可以想像一下，假若19世纪的有限主义者利奥波德·克罗内克当时能使用到这个全集的话；他会相信每个自然数都存在，而集合formula_72（一个"完全的无穷大"）则不然。 然而，对一般的数学家（它们不是有限主义者）来说，formula_70是不足够的，因为尽管formula_72是formula_70的子集，但formula_72的幂集仍然不是。特别的，任意的实数集合都不是。所以，需要重新开始这个过程，来构造formula_81。不过，为简单起见，就只用给出的自然数集合formula_72来构造formula_83，即formula_72上的超结构。这通常被认为是“一般数学的全集”。其意思是指，一般研究的所有数学物件，都已作为这个全集的元素而包含其中。例如：任何通常的实数的构造方式（比如通过戴德金分割）都会属于formula_83。即使是非标准分析，也能够在自然数的一个非标准模型上的超结构中进行。 应当注意，这个部分在观念上有些改变，这里全集是任何被关心的集合formula_4。上个部分中，被研究的集合是全集的"子集"；而现在，它们是全集的"元素"。这样尽管formula_87是一个布尔格，但相应的formula_47不是。因此，几乎不直接采用布尔格和文氏图来描述这种超结构式的全集；在上个部分中，它们被用来描述幂集式的全集。作为替代，可以采用独立的布尔格formula_89，这里formula_6是formula_47中任意相应的集合；则formula_89是formula_47的子集（实际上它属于formula_47）。 在集合论中. 正式来说，可以给出一个精确定义，来说明为何formula_83为一般数学的全集；这是策梅洛集合论的模型。策梅洛集合论是由恩斯特·策梅洛最初在1908年提出的公理集合论。策梅洛集合论的成功完全在于它能够公理化"一般"数学，完成了康托尔在三十年之前开始的课题。但策梅洛集合论对进一步发展公理集合论和数学基础中的其他工作，特别是模型论，是不够的。举一个戏剧性的例子：上述超结构的描述并不能独立地在策梅洛集合论中完成！ 最后一步，构造formula_96成为一个无限并集，需要代换公理；这条公理在1922年被加入策梅洛集合论，成为如今通用的策梅洛-弗兰克尔集合论。所以，尽管一般数学可以在formula_83中"进行，"对formula_83的讨论则不再"一般"，而是转向元数学的领域。 但是，若在超级的集合论中，可以发现上述的超结构过程只是超限归纳法的开始。回到formula_69（空集），并用（标准的）符号formula_100表示formula_101。则有formula_102，formula_103，等等，和前面一样。但是，所谓"超结构"现在只是这个列中的下一项：formula_104，这里formula_105为第一个无穷序数。按照序数知识，得到： formula_106定义formula_100。所有formula_100的并集为冯·诺伊曼全集formula_109： formula_110。注意，每个单独的"formula_100"都是集合，但他们的并集"formula_109"是一个真类。跟代换公理差不多时候加入ZF系统的正则公理断言，"每个"集合都属于"formula_109"。