开集
开集
在数学上，特别是拓朴学中，开集是对实数开区间进行推广之后得到的抽象集合。
通常微积分的课程中，会借助欧式空间的距离去描述数列极限；直观上，当 formula_1 越来越大时数列 formula_2 跟 formula_3 要多靠近有多靠近的时候，就说 formula_3 是数列 formula_2 的极限，但这需要距离去严谨的描述「靠近程度」，开集就是来自于＂ formula_3 点附近＂这样的直观概念。类似的，函数极限也需要距离的概念去严谨定义。
定义.
欧式空间.
formula_7代表 formula_1 维欧式空间， 而 formula_7 中的任两点距离（欧式距离）为
formula_10
若 formula_11 ，且对所有 formula_12 ，存在一个 formula_13 ，使得对所有 formula_14 ，只要 formula_15 就有 formula_16 ，那么就说子集formula_17是 formula_7中的一个开集。也就是说，开集 formula_17 里的所有点 formula_20 都有一个以 formula_20 为中心的开球完全包含于 formula_17 。
赋距空间.
欧式空间的开集很容易地推广到赋距空间formula_23中：
"formula_24" 是 formula_25 的子集，若对所有 "formula_24" 中的点 formula_20，存在 formula_13 使得对所有formula_25中的点 formula_30，只要 formula_31 ，则 "formula_30" 也属于"formula_24"，或以正式的逻辑符号表述为
formula_34
则称 "formula_24" 是 formula_25 的一个开集。也就是说，如果所有 "formula_24" 中的点都有完全包含于 "formula_24" 的开球，"formula_24"便是开集。
这的确推广了欧式空间部分的定义，因为欧式距离和欧式空间本身就组成了一个赋距空间。
赋距空间的开集还会有以下的性质：
定理：
若 formula_23 为赋距空间，则
(1) "formula_41" 和 formula_25 也是 formula_25 的开集。
(2) 若 "formula_44" 和 "formula_45" 都是 formula_25 的开集，则 "formula_47" 也是 formula_25 的开集。
(3) "formula_49" （ formula_50 是 formula_25 的一个子集族），若所有 formula_52 都是开集，则 formula_53 也是 formula_25 的开集。（也就是说，任意数量开集的联集也是开集）
关于上面性质的证明，(1)是非常显然的；(2)只需取每一点比较小的开球即可；(3)根据联集的定义也是非常显然的。
事实上这些性质这就是拓扑空间定义的动机。
拓扑空间.
开集是拓扑空间定义的基石；也就是从任意母集合 formula_55 出发，再选取 "formula_55" 的特定的子集族 formula_57 ，规定 formula_57 中的集合就是开集，这样的子集族 formula_57 被叫做 "formula_55" 上的拓朴：
"formula_55" 为集合，若 formula_62 满足
(1) "formula_63"
(2) 若 "formula_64" 则 "formula_65"。
(3) "formula_66" ，则 formula_67 。（也就是说，任意数量开集的联集也是开集）
则称 formula_57 为 "formula_55" 上的拓朴，并称 "formula_70" 为一拓扑空间。任何 "formula_71" 被称为开集。
根据上一节赋距空间的性质，取 formula_72 为所有 formula_25 的开集所构成的子集族，则显然 "formula_74" 也是一拓扑空间。
用处.
开集在拓扑学分支中有著基础的重要性。当定义拓扑空间和其他拓扑结构（处理邻近性与收敛此类概念，比如度量空间和一致空间）时，都会用到开集的概念。
拓扑空间"X"的每个子集"A"都包含至少一个（可能为空）开集；最大的这种开集被叫做"A"的内部。它可以通过取包含在"A"中的所有开集的并集来构造。
给定拓扑空间"X"和"Y"，从"X"到"Y"的函数"f"是连续的，如果在"Y"中的所有开集的前像是在"X"中的开集。映射"f"被叫做开映射，如果在"X"中的所有开集的像是"Y"中的开集。
实直线上的开集都是可数个不相交开区间的并集。
注释.
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