伯努利不等式
伯努利不等式
数学中的伯努利不等式指出：对任意整数formula_1，和任意实数formula_2有：
formula_3；
如果formula_4且是偶数，则不等式对任意实数formula_5成立。
可以看到在formula_6，或formula_7时等号成立，而对任意正整数formula_8和任意实数formula_2，formula_10，有严格不等式：
formula_11。
伯努利不等式经常用作证明其他不等式的关键步骤。
证明和推广.
伯努利不等式可以用数学归纳法证明：当formula_12，不等式明显成立。假设不等式对正整数formula_13，实数formula_2时成立，那么
formula_15
formula_16。
下面是推广到实数幂的版本：如果formula_17，那么：
若formula_18或formula_19，有formula_20；
若formula_21，有formula_22。
这不等式可以用导数比较来证明：
当formula_23时，等式显然成立。
在formula_24上定义formula_25，其中formula_26，
对formula_5求导得formula_28，
则formula_29当且仅当formula_7。分情况讨论：
在这两种情况，等号成立当且仅当formula_7。
相关不等式.
下述不等式从另一边估计formula_51：对任意formula_52，都有
formula_53。
我们知道formula_54（formula_55），因此这个不等式是平凡的。
图片快照过大，请您耐心等候，如果加载失败请稍后再试！
如果网站内容有侵犯您的版权
请联系：pinbor@iissy.com
请联系：pinbor@iissy.com
Copyright ©2014 iissy.com, All Rights Reserved.