数学上，空间是指一种具有特殊性质及一些额外结构的集合（有时称为全集）。在初等数学或中学数学中，空间通常指三维空间。 现代数学使用了多种类型的空间，如欧几里得空间、线性空间、拓扑空间、希尔伯特空间或概率空间，但并不存在单称为「空间」的数学物件。 空间由被视为点的数学对象和点之间的关系组成。 点的性质可以千差万别：例如，点可以是集合的元素，另一个空间上的函数，也可以是另一个空间的子空间。点之间的关系决定了空间的性质，更确切地说一般认为同构空间完全相同，空间之间的同构是点之间的一一对应关系。例如，欧几里得公理唯一确定了三维欧几里得空间各点之间的关系，所以所有三维欧几里得空间都是相同的。 数学对象应被视为几何“空间”还是代数“结构”，并不总是很清楚。尼古拉·布尔巴基提出了结构的一般定义，包括了所有常见的空间类型，提供了同构的一般证明方法，并证明了同构结构之间的性质转移是合理的。 历史. 几何学黄金时代之前. 古希腊数学中，“空间”指日常生活中观察到的三维现实的几何抽象。约公元前300年，欧几里得给出了关于空间性质的公理，将所有数学都建立在几何基础上，甚至通过比较线段长度来定义数字。 1637年，勒内·笛卡尔提出了直角坐标系（解析几何）。当时，几何定理被视作可通过直觉和推理实现认识的绝对客观真理，类似于自然科学的对象；:11公理则被认为是定义的明显含义。:15 几何图形有两种等价关系：全等和相似。平移、旋转和翻折对图形进行全等变换，位似变换得到相似图形。例如，所有圆都相似，但椭圆和圆不相似。第三种等价关系由加斯帕尔·蒙日于1795年提出，出现在射影几何中：在适当的投影变换下，椭圆、抛物线和双曲线都会变成圆，称它们射影等价。 欧几里得几何与射影几何之间的关系:133表明，数学对象并非以结构呈现。:21数学对象的性质由数学理论描述，而这些性质作为公理，是理论的基础。:20 距离和角度不会出现在射影几何定理中，因为射影几何公理中没有出现这些概念，也没有从概念中定义出来。“三角形的内角和是多少”这样的问题，在欧几里得几何中有意义，但在射影几何中则毫无意义。 19世纪出现了不同的情况：在某些几何中，三角形内角和定义明确，但异于一般值（180°）。尼古拉·罗巴切夫斯基和鲍耶·亚诺什分别于1829年和1832年（高斯于1816年发现，未发表）:133引入了非欧双曲几何，即内角和取决于具体的三角形，且总小于180°。欧金尼奥·贝尔特拉米（1868）、费利克斯·克莱因（1871）分别获得了非欧双曲几何“模型”，从而完全证明了这理论在逻辑上的可能性。:24 这一发现迫使人们放弃了对欧几里得几何为真理的宣称，表明公理并非“显而易见”，也不是“定义的含义”，而是假设。它们不必匹配实验现实，它的定理也不失为“数学真理”。:15 非欧几何的欧氏模型，是选择欧氏空间中的对象及之间的关系，这些关系满足非欧几何的所有公理（因此也满足所有定理）。这些欧氏对象和关系模仿了非欧关系，这表明在数学中，对象间的关系是必不可少的，而对象的性质却不是。 几何学黄金时代及之后. 英语中的几何学一词是geometry，来自古希腊语geo-“地”与-metron“测量”，最初指的是测量生活中空间的长度、区域的面积与体积的实用方法，后来得到了推广。 据Bourbaki:131，1795年（蒙日《画法几何学》）到1872年（克莱因《埃尔兰根纲领》）这段时间可以称为“几何学黄金时代”。欧几里得几何最初研究的空间，叫做三维欧几里得空间。欧几里得在23个世纪之前将其公理化，后来得到了希尔伯特公理、塔斯基公理和伯克霍夫公理的重新诠释，它们通过公理约束的原始概念（如“点”“之间”“全等”）来描述空间。 解析几何取得了巨大进步，并成功通过变换群不变式的计算，取代了经典几何定理。:134,5那时起，业余数学家更关心古典几何的新定理。:136但古典几何的遗产并没有丢失。Bourbaki认为:138“古典几何学作为一门独立、活跃学科的角色被超越了，因此它被转化为当代数学的一种通用语言。” 同时，数开始取代集合成为数学的基础。例如，理查德·戴德金的论文《连续性与无理数》（1872）断言直线上的点应具有戴德金分割性质，因此直线与实数集是一回事。戴德金谨慎地指出，这是无法证明的假设。在现代的论述中，这通常被视为线的定义，几何从而简化为算术。三维欧几里得空间被定义为仿射空间，其元素差的相关向量空间具有内积。像欧几里得那样“从头来”的定义现在已不常用，因为没有揭示空间与其他空间的关系。此外，三维射影空间现在被定义为四维向量空间的所有一维子空间（即过原点的直线）的空间。基的转变需要新的公理，如采用这些公理，几何学经典公理就变成了定理。 现在，空间由选定的数学对象（例如，另一个空间上的函数，或另一个空间的子空间，或仅仅是集合的元素）组成，这些对象被视为点，而点之间的关系则是选定的。因此，空间只是一种方便的数学结构。可能会认为与其他数学对象相比，“空间”更具有几何感，但事实并非总是如此。 1854年，伯恩哈德·黎曼在就职演讲上指出，以n个实数为参数的数学对象可当做是n维空间中的点。:140当代数学家仍遵循这一思想，并发现在几乎所有地方使用经典几何术语极具启发性。:138 函数是重要的数学对象，正如黎曼指出，函数一般构成无穷维的函数空间，:141在20世纪的泛函分析中得到了详细阐述。 空间的分类. 3个分类层级. 每种空间虽然都有自己的定义，但“空间”的一般概念却无法形式化。有些结构可叫做“空间”，有些则不能，没有明确标准。另外，“结构”也没有能通行的定义。据Pudlák所说：“数学[……]不能完全用数学结构这样的单一概念来解释。然而，布尔巴基的结构主义方法是我们所拥有的最好的方法。”布尔巴基的结构主义方法将在#空间与结构中讨论，现在先按他的精神，概述空间（和结构）的可能分类。 我们将空间分为3层。鉴于每种数学理论都由属性描述对象，那么首先就要问：具体是哪些属性？这是第1层（顶层）。第2层要考虑解答特别重要（在第1层有意义）的问题。在第三级分类中，则考虑所有可能问题。 例如，欧几里得空间和射影空间的区别属于一级分类的区别，因为两点之间的距离在欧几里得空间中是确定的，而在投影空间中是不确定的。“三角形内角和是多少”在欧几里得空间中有意义，但在射影空间中无意义；在非欧空间中，这个问题也有意义，而异于欧氏空间，后者的区别便不属于一级。欧几里得平面与欧几里得三维空间之间的区别也不是一级分类的区别：“维度具体是多少”的问题，在两种情形下都有意义。 二级分类可以区分欧氏空间和非欧空间、有限维空间和无限维空间、紧空间和非紧空间等。用布尔巴基的话说，二级分类是按“种”分类，不过与生物分类不同，一个空间可能属于多个“种”。 三级分类区分不同维度的空间，但不区分欧几里得平面和所有实数对的集合（都是二维欧氏空间）。更正式地说，三级分类的标准是同构。空间之间的同构定义为两者的点之间的一一对应，保留了一级分类规定的所有关系。同构就是空间之间的等价关系。 同构的概念揭示了一级分类。给定同一一级分类的两个空间之间的一一对应关系，便可以问这是否是同构。这个问题对于两个不同类的空间毫无意义。 与自身同构，称为自同构。欧氏空间的自同构是平移、旋转、反射和它们的组合。同维欧氏空间都是同质的，因为每个点都可以通过自同构变换成其他每个点。 欧几里得公理没留下自由的空间，唯一决定了空间的所有几何属性。更确切地说，所有三维欧氏空间都互相同构。用Bourbaki的话来说，相应的理论是唯一等价（“单价”）的。相对地，拓扑空间之间通常不同构，理论是“多价的”。类似想法也见于数理逻辑：范畴理论的所有同势模型都相互同构。Bourbaki认为，对多价理论的研究是现代数学区别于古典数学的显著特征。 空间种类之间的关系. 拓扑概念（连续、收敛、开集、闭集等等）在欧氏空间中有自然的定义，也就是说欧氏空间都是拓扑空间。两个欧氏空间之间的同构也是相应拓扑空间的同构（同胚），但反过来就不是了：同胚可能会使距离改变。用布尔巴基的话说，“拓扑空间”是“欧氏空间”结构的内在结构。类似观点见于范畴论：欧氏空间范畴是拓扑空间范畴上的具体范畴；遗忘函子将前者映射到后者。 3维欧氏空间是欧氏空间的特例。用布尔巴基的话说，3维欧氏空间“种”要比欧氏空间“种”更丰富。同样，紧拓扑空间的种类也比拓扑空间的种类丰富。 如图3所示，空间种类的此种关系可用图表示。A到B的箭头意味着，A空间也是B空间；或可视作B空间；或提供了B空间，等等。将A和B视作空间种类，可以将箭头解释为A到B的转化（用Bourbaki的话说“从A空间到B空间的推导过程”。除非A、B是集合类，否则不完全是函数；这一细微差别不会影响下面的讨论）。图3的两个箭头都不可逆，但原因不同。 “欧几里得”到“拓扑”的过程是遗忘的。拓扑区分连续与不连续，但不分直线和曲线。直觉告诉我们，欧几里得结构无法从拓扑中复原。可以证明拓扑空间的自同构（即自同胚）不同于欧几里得空间的自同构（即不是平移、旋转和反射的组合）。这样的变换会改变（不过仍然同构）给定的欧氏结构，而前后的欧氏结构都对应单一拓扑结构。 相比之下，从“3维欧氏”到“欧氏”空间的变换就不是遗忘的；后者不一定是3维的，但若恰好是3维的，则不会丢失任何结构。后一种变换是单射（一到一），而前一种变换不是（多到一）。我们用尾部带钩的箭头“↣”表示单射。 两种变换都不是满射，即并非每个B空间都来自A空间。首先，3维欧氏空间是欧氏空间的特例而非通例；其次，欧氏空间的拓扑是拓扑的特例（例如，必须是非紧连通的，等等）。记满射为双头箭头“↠”，例子见图4；其中“实线性拓扑”到“实线性”的箭头是双头的，因为每个实线性空间都有一些（至少一个）与线性结构兼容的拓扑。 这种拓扑一般来说不唯一，但当实线性空间为有限维时唯一。对这些空间而言，变换既是单射也是双射，即双射；如图4中“有限维实线性拓扑”到“有限维实线性”的箭头；逆变换也存在（表示为反向箭头）。因此，这两种结构等价。在实践中，一般不区分等价的结构种类。等价结构可被视为单一结构，如图4的大框所示。 箭头表示的变换服从同构，也就是说两个同构A空间会产生两个同构B空间。 图4上的图是交换图：图中同始同终的有向路径都会导向相同的结果。除了图9中的虚线箭头外，下面的其他图也是交换图。“拓扑”到“可测”的箭头是虚线，原因是：“为将拓扑空间转为可测空间，需要赋予一个σ代数。最常用的是博雷尔集的σ代数，也有其他选择。”实箭头表示平凡的所谓“典型”变换，自然而然地提出并广泛使用。例如，在欧氏空间上讨论连续函数时，无需说明其拓扑结构。事实上存在其他拓扑结构，如细拓扑；但这些拓扑结构总是明确指定的，因为它们远不如常用的拓扑结构引人注目。虚线箭头表示有几种拓扑结构在使用，但没有一种很普遍。 空间类型. 线性空间与拓扑空间. 线性空间（也称向量空间）和拓扑空间是两个基本空间。 线性空间具有代数性质，有实线性空间（实数域上）、复线性空间（复数域上），以及更一般的任意域上的线性空间。复线性空间也是实线性空间（后者是前者的基），例如一维复线性空间的复平面可以同构变换为二维实线性空间；实线则只能被视作一维实线性空间。更一般地说，域上的向量空间也具有子域上的向量空间的结构。 根据定义，线性空间中的线性运算产生了直线（及平面等线性子空间）、平行线、椭圆（及椭球）等概念。但是无法定义正交（垂直），也找不到圆，因为线性空间中没有标量积那样的结构来测量角度。线性空间的维度是线性独立向量的最大数目，也等价于跨空间的向量的最小数目；这个数可能是无限的。同一域上的两个线性空间只有在维度相同时才同构；n维复线性空间也是2n维实线性空间。 拓扑空间具有分析性质。根据其定义，拓扑空间中的开集可引出连续函数、路径、映射；收敛数列、极限；内部、边界、外部等概念。而一致连续、有界集、柯西序列、可微函数（路径、映射）则仍未定义。拓扑空间之间的同构叫做同胚，它们是两个方向上连续的一一对应关系。开区间(0,1)与整条数线(−∞,∞)同胚，但与闭区间[0,1]、与圆则不同胚。正方体表面与球面同胚，但不与环面同胚。不同维度的欧氏空间不同胚，这一点似乎显而易见，却不易证明。拓扑空间的维度也难以定义，有归纳维数（图形的边界维度通常比图形维度小1的归纳）和拓扑维数等。对n维欧氏空间，两者都等于n。 拓扑空间的子集仍是拓扑空间（相对地，线性空间只有线性子集仍是线性空间）。点集拓扑学研究的任意拓扑空间种类繁多，无法进行基于同胚的完整分类。紧拓扑空间是一种重要的拓扑空间（此类中的一种），其上的连续函数都有界。闭区间[0,1]与扩展实数线[−∞,∞]都是紧空间；开区间(0,1)和数线(−∞,∞)则不是。几何拓扑学研究流形（此类中的另一种），它们与欧氏空间局部同胚（并满足一些额外条件）。低维流形在同胚意义上有完全的分类。 线性结构和拓扑结构都蕴含于拓扑向量空间（或拓扑线性空间）结构。线性拓扑空间是具有连续线性运算的拓扑空间，因此，同样是拓扑的线性空间一般不是线性拓扑空间。 有限维线性空间都是线性拓扑空间，因为其中只有一种拓扑结构，使其成为线性拓扑空间。因此“有限维线性空间”与“有限维线性拓扑空间”等价，所以有限维线性拓扑空间的可逆线性变换都是同胚变换。对有限维实线性空间，这三个维度概念（1个代数维度与2个拓扑维度）是一致的；但在无限维空间中，不同拓扑结构可以符合给定的线性结构，可逆线性变换一般不是同胚变换。 仿射与射影空间. 通过线性空间引入仿射空间和射影空间 是很方便的，具体如下。n+1维线性空间的n维线性子空间与原空间不同类，包含一个特殊点：原点。用外部向量移动它，就得到n维仿射子空间，这是同累变换。仿射空间不必包含于线性空间中，但与某线性空间的仿射子空间同构。给定域上的所有n维仿射空间都互相同构，用约翰·拜艾兹的话说：“仿射空间是忘记了原点的向量空间。”特别地，线性空间都是仿射空间。 给定n+1维线性空间L中的n维仿射子空间A，A中直线可定义为A与L的二维线性子空间（不与A平行的过原点平面）的交。更一般地说，A的k维仿射子空间是A与同A相交的L的k+1维线性子空间的交。 仿射子空间A的每点都是A与L的一维线性子空间的交点。但L的一部分一维子空间与A平行，可以说它们相交于无穷远。根据定义，(n+1)维线性空间的所有一维线性子空间的集合，是n维射影空间；仿射子空间A则作为合适子集，嵌入在射影空间中。但射影空间本身是同类的。射影空间中的直线对应(n+1)维线性空间的2维线性子空间；更一般地说，射影空间的k维射影子空间对应(n+1)维线性空间的(k+1)维线性子空间，且与k维射影空间同构。 这样，仿射空间和射影空间具有代数性质；它们可以是实空间、复空间，可以是任何域上的空间。 实或复仿射空间或射影空间也是拓扑空间。仿射空间是非紧流形，而射影空间是紧流形。在实射影空间中，直线与圆同胚，因此是紧的，这与仿射空间线性中的直线不同。 度量空间与一致空间. 度量空间定义了点之间的距离。度量空间之间的同构称为等距（isometry）。度量空间是拓扑空间；若拓扑空间可蕴含于度量空间，称拓扑空间可度量。所有流形都可度量。 度量空间中，可以定义闭集和柯西序列。称所有柯西序列收敛的度量空间为完备空间。不完备空间都作为稠密集，嵌入到某个完备空间中；紧度量空间都是完备空间；数线是非紧完备空间；开区间(0,1)不完备。 欧氏空间都是完备空间。此外，欧氏空间的所有几何概念都可用度量描述。例如，连接两定点A、C的直线段由所有点B组成，这样|AC|等于|AB|+|BC|。 豪斯多夫维数（与覆盖给定集的小球数有关）适用于度量空间，可以不是整数（如分形）。n维欧氏空间的豪斯多夫维数都是n。 一致空间没有距离，但仍允许均匀连续与柯西序列（或柯西滤子或柯西网）、紧与完备。一致空间都是拓扑空间；线性拓扑空间（无论可否度量）也是一致空间，在有限维时完备，在无限维时通常不完备。更一般地说，交换拓扑群都是一致空间。非交换拓扑群则蕴含左不变、右不变两个一致结构。 赋范空间、巴拿赫空间、内积空间与希尔伯特空间. 欧氏空间中的向量构成线性空间，但每个向量"x"都有长度，即范数formula_1。具有范数的实或复线性空间就是赋范空间。赋范空间既是线性拓扑空间，又是度量空间。巴拿赫空间是完备赋范空间，许多序列或函数的空间都是无穷维巴拿赫空间。 范数 外部链接. 重定向;重新导向;字符;字元;文件; 档案;快捷方式; 捷径;项目;专案;计划;计划;计划;计算机; 电脑; 电脑;