拓扑向量空间

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拓扑向量空间

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拓扑向量空间是泛函分析研究中的一个基本结构。顾名思义就是要研究具有拓扑结构的向量空间。拓扑向量空间主要都是函数空间，在上面定义的拓扑结构就是函数列收歛的条件。希尔伯特空间及巴拿赫空间是典型的例子。定义. 一个拓扑向量空间 "X" 是布于一个拓扑域 "K" （通常取实数或复数域）上的向量空间，其上带有拓扑结构使得向量加法 "X" × "X" → "X" 与纯量乘法 "K" × "X" → "X" 为连续映射。注：某些作者也要求 "X" 是豪斯多夫空间，更有要求其为局部凸空间者（例如 Fréchet 空间）。一个拓扑向量空间是豪斯多夫空间的充分条件是该空间为 formula_1 空间。布于 "K" 上的拓扑向量空间范畴通常记为 TVSK 或 TVectK，其对象为布于 "K" 上的拓扑向量空间，态射则为连续的 "K"-线性映射。拓扑向量空间的同构是既是同胚也是线性的映射。例子. 所有赋范向量空间都是拓扑向量空间的例子。因此所有巴拿赫空间及希尔伯特空间也是这些例子。函数空间. 在数学分析中应用的拓扑向量空间主要是函数空间。较常见的例子有：积向量空间. 当赋予乘积空间后，拓扑向量空间的家族的笛卡儿乘积都是拓扑向量空间．例如，"X"是"f" : R → R函数的集合. "X"可以被乘积空间RR来确定的，并带有自然的乘积空间．有了这个拓扑，"X"成了拓扑向量空间，称呼为逐点收敛的空间．命名的原因是如果("f""n") 是"X"集合内元素的序列而对于所有实数"x" "f""n"("x")都有一个极限 "f"("x") ，那么"f""n"在"X"集合内有一个极限"f"．这个空间就是完整但不能赋范．拓扑结构. 向量空间对加法构成阿贝尔群，拓扑向量空间的加法逆运算 formula_17 是连续的（因为 formula_18），因此拓扑向量空间可视为可交换的拓扑群。特别是：拓扑向量空间是一致空间，因此可以谈论完备性、一致收敛与一致连续。向量运算（加法与纯量积）是一致连续的，因此拓扑向量空间的完备化仍为拓扑向量空间，原空间在其中是个稠密的线性子空间。向量运算不只连续，实则还是同胚，因此我们可以从原点附近的一组局部基重构整个空间的拓扑。局部基可由以下两种开集组成：一个拓扑向量空间可度量化的充要条件是：（一）它是豪斯多夫空间（二）原点有一组可数的局部基。拓扑向量空间之间的线性函数若在某一点连续，则在整个定义域上连续。一个线性泛函连续的充要条件是其核为闭子空间。有限维向量空间有唯一的豪斯多夫拓扑，因此任何有限维拓扑向量空间都同构于 formula_21（带上确界范数：formula_22）。对于豪斯多夫拓扑向量空间，有限维等价于局部紧。拓扑向量空间的种类. 在应用中，我们常考虑具有一些附带拓扑性质的空间，以下是一些常见的种类，大致以其性质之「良好」与否排序。对偶空间. 拓扑向量空间 formula_25 的连续对偶空间定义为所有连续线性泛函构成的空间 formula_26，其拓扑可定义为使对偶配对 formula_27 为连续映射的最粗拓扑（称为弱-*拓扑）。当 formula_25 为巴拿赫空间时，可以藉算子范数在 formula_26 上定义更细的拓扑，然而弱-*拓扑具有一些紧致性定理（巴拿赫-阿劳格鲁定理），因而在应用中仍相当重要。

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