虚数

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虚数虚数是指可以写作实数与虚数单位formula_1乘积的复数，并定义其性质为formula_2，以此定义，0可视为同时是实数也是虚数。 17世纪著名数学家笛卡尔所著《几何学》（）一书中，命名其为-- （虚构的数），成为了虚数（-- ）一词的由来。后来在欧拉和高斯的研究之后，发现虚数可对应平面上的纵轴，与对应平面上横轴的实数同样真实。虚数轴和实数轴构成的平面称复数平面，复数平面上每一点对应着一个复数。几何诠释. 在几何学上，复数平面的垂直轴表示虚数，它们与代表实数的水平轴垂直。查看虚数的方法之一是参考标准数线：往右侧正幅度增长，往左侧则负幅度减少。在x轴的0点处，往上升方向可绘制y轴的“正”虚数，然后向上增加；而“负”虚数则往下增加。这个垂直轴通常被称为“虚数轴”，并被表示为formula_3，Im，formula_4，或formula_5。在该呈现图示中，乘以–1对应于以原点为中心180度的旋转。formula_1的乘法对应于“逆时针”方向的90度旋转，而方程式formula_2可被解释为，如果我们对原点应用两个90度旋转，则终了结果是单一个180度旋转。注意，“顺时针”方向的90度旋转也满足这种解释。这反映了formula_8也解出了方程formula_9。一般来说，乘以复数与以复数辐角围绕原点的旋转相同，然后按其大小进行缩放。负数的平方根. 我们应该将根号视为求formula_10的解，故将一个数开根号后会有两个合理的值，此二值互相差一个负号。在将正数开根号时，这两个值一为正数一为负数，故习惯上直接将根号对应到正值，而负值的解以根号前加负号来表示。但对其它的数而言开根号没有自然的对应，formula_11实际上代表的是两个数，分别为formula_12及formula_8。但若直接将formula_11对应到formula_12，而formula_16对应到formula_8也未尝不可。性质. 1. 不同的虚数都是不能比较大小的：formula_18成立，但formula_19和formula_20却均不成立。举例说明：（反证法）假设formula_21 平方得formula_22 得formula_23即可看出矛盾。再举例：假设formula_24 平方得formula_22（不等式两侧同乘假设为负的formula_1，不等式由小于变为大于）得formula_23即可看出矛盾。因此虚数或者说虚部不为0的复数不能比较大小。 2. 因为formula_28，formula_29，formula_30，formula_31，formula_32，formula_33，很容易知道formula_34（formula_35）是关于指数formula_36的周期函数，最小正周期是formula_37。于是，我们有 formula_38 这表示formula_39为方程formula_40的一个根，另三个根分别为formula_41及formula_42。另外可以证明 formula_43 和 formula_44 为下列方程的根 formula_45 formula_46 其中，formula_47称为formula_48的共轭虚数（或共轭复数）。 3. 如果再将虚数的这个概念扩展开去，就可以组成四元数（Quaternion）、八元数（Octonion）等特殊数学范畴。

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