生日问题

易经学习

天地变化的道理

分类目录

使用率很高网站

文章列表

生活要常常分享

维基百科

您身边百科全书

生日问题

点击查看词条快照

生日问题是问最少需要多少人，当中两人同一天生日的机率才会过半。答案是23人，所以在30人的小学班级中两人同生日的机率更高。对于60人或更多人，概率大于99%。这问题有时也称生日悖论，但从引起逻辑矛盾的角度来说生日问题并非悖论，它称作悖论只因这事实与一般直觉相抵触而已。大多数人会认为23人中两人同生日的概率应该远小于一半。计算与此相关的概率称为生日问题，在这个问题之后的数学理论已用于设计著名的密码攻击方法：生日攻击。解释. 生日问题可理解成盲射打靶问题。首先计算：23人皆不同生日的概率是多少？可想像一间有23人进入的房间，这23人依次进入，每个进入的人的生日都与房里其他人的生日不同的概率依次是1、formula_1、formula_2、formula_3、formula_4等。先入房的人的生日皆不同的概率很高，前五个是1×formula_1×formula_2×formula_3×formula_4=97.3%；而最后入房的几人就完全不同，他们入房且找不到同生日者的概率是formula_9、formula_10、formula_11。这种概率可看成对靶的盲射：靶有365格，其中17个左右黑格，其余白格。假设每枪必中靶并且分布符合几何概型的话，连射12枪左右任何一发都没有击中黑格的概率（投射于房间里的人生日皆不同）十分微小。理解生日问题的关键在于考虑上述“依次入房”模型中最后几个入房的人“全都没碰到同生日的人”概率多少。简言之，大多数人之所以会认为23人中两人同生日的概率应该远远小于50%，是因为将问题理解为“其他22人与"你"同生日的概率”，而非问题真谛“23人中两两之间存在生日相同”。如果有考虑这点，直觉上会将原来的概率乘以23"（注意：此算法并不正确）"，则会意识到概率很大。概率估计. 假设有"n"个人在房内，如果要计算两人同生日的机率，在不考虑特殊因素如闰年、双胞胎的前提下，假设一年365日出生概率平均分布（现实的出生机率不是平均分布）。计算概率的方法是，首先找出p"（"n"）"表示"n"人中，每人生日都不同的概率。假如"n" > 365，根据鸽巢原理其概率为0，假设"n" ≤ 365，则概率为 formula_12 因为第二人不能跟第一人同生日（概率是364/365），第三人不能跟前两人同生日（概率是363/365），依此类推。用阶乘可写成如下形式 formula_13 "p"("n"）表示"n"个人中至少两人同生日的概率 formula_14 "n"≤365，根据鸽巢原理，"n"大于365时概率为1。 "n"是23时概率约0.507。其他人数的概率用上面算法可得出：注意所有人都是随机选出：作为对比，"q"("n")表示房间中有"n+1"人，当中与特定人（比如你）同生日的概率： formula_15 当"n" = 22时概率只有大约0.059，约高于十七分之一。如果"n"人中有50％概率存在某人跟你同生日，"n"至少要达到253。注意这数字大大高于365/2 = 182.5；究其原因是因为房间内可能有些人同生日。数学论证（非数字方法）. 保罗·哈莫斯在自传中认为生日问题只用计算数值来解释是种悲哀，所以给出了一种概念数学方法的解释（尽管这方法有一定的误差）：乘积 formula_16 等于1－"p"（"n"），因此关注第一个"n"，欲使乘积小于1/2。由平均数不等式可知： formula_17 再用已知的1到"n"－1所有整数和等于"n"（"n"－1）/2，然后用不等式1－"x" 这推论是基于数学系学生必须掌握的重要工具。生日问题曾是用来演示纯思维如何胜过机械计算的绝妙例子：这些不等式一两分钟就写得出，但乘法运算就要更多时间且更易出错，无论使用的工具是铅笔还是老式电脑。计算器不能提供的是理解力、数学才能、或产生更高级、普适化理论的坚实基础。然而哈莫斯的推论只显示至少超过23人就能保证平等机会下的生日匹配。因为不知道给出的不等式有多强（严格、清晰），因此无法借此计算过程确定n＝22是否能让机率过半；相反，现在任何人都可用Microsoft Excel等个人电脑程式在几分钟内把整幅机率分布图画出来，对问题答案很快就有通盘掌握，一目了然。泛化和逼近. 生日问题可以推广一下：假设有"n"人，每人都随机从"N"个特定的数中选一个数出来（N可能是365或其他正整数）。 "p"（"n"）表示有两个人选择了同样的数字，这概率多大? 下面的逼近公式可以回答这个问题 formula_21。泛化. 下面泛化生日问题：给定从符合离散均匀分布的区间[1,"d"]随机取出"n"个整数，至少2个数字相同的概率"p"（"n";"d"）有多大? 类似的结果可以根据上面的推导得出。 formula_22 formula_23　　　　　　　　　　　　　 formula_24　　　　　　　　　　 formula_25 反算问题. 反算问题可能是：对于确定的概率p… …找出最大的"n"（"p"）满足所有的概率"p"（"n"）都小于给出的"p"，或者 …找出最小的"n"（"p"）满足所有的概率"p"（"n"）都大于指定的"p"。这问题有如下逼近公式： formula_26。举例. 注意：某些值有色，说明逼近不总是正确。经验性测试. 生日问题可以用计算机代码经验性模拟 days := 365; numPeople := 1; prob := 0.0; while prob n人中有两人的生日同在k日历天内的概率。假设有m个同等可能的生日。 formula_27 能找到两个人生日相差k天或更少的概率高于50%所需要的人数：只须随机抽取7人，找到两人生日相差一周内的概率就会过半。其它相关生日错觉机率问题. 星期二男孩问题：一个两孩家庭有一个男孩，他是星期二出生的，那么另一个孩子也是男孩的机率是多少？答：13/27

横山乡

北埔乡

斯涅尔定律

威尼托大区

尖石乡

斯德哥尔摩症候群

王拓

世田谷区

乌山 (福州)

芎林乡

升华

李阳冰