完全数 完全数（-- ），又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数：它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和，恰好等于它本身，完全数不可能是楔形数、平方数、佩尔数或费波那契数。 例如：第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，，恰好等于本身。第二个完全数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，，也恰好等于本身。后面的数是496、8128。 十进位的5位数到7位数、9位数、11位数、13到18位数等位数都没有完全数，它们不是亏数就是盈数。 完全数的发现. 古希腊数学家欧几里得是通过formula_1 的表达式发现前四个完全数的。 当formula_2 当formula_3 当formula_4 当formula_5 一个偶数是完美数，当且仅当它具有如下形式：formula_6，其中formula_7是素数，此事实的充分性由欧几里得证明，而必要性则由欧拉所证明。 比如，上面的formula_8和formula_9对应着formula_10和formula_11的情况。我们只要找到了一个形如formula_7的素数（即梅森素数），也就知道了一个偶完美数。 尽管没有发现奇完全数，但是当代数学家奥斯丁·欧尔证明，若有奇完全数，则其形式必然是formula_13或formula_14的形式，其中formula_15是素数。 首十个完全数是（）： 历史. 古代数学家根据当时已知的四个完全数做了很多假设，大部分都是错误的。其中的一个假设是：因为 2、3、5、7 恰好是头 4 个素数，第 5 个完全数应该是第 5 个素数，即当 formula_16 的时候，可是 formula_17 并不是素数。因此 formula_16 不是完全数。另外两个错误假设是： 事实上，第五个完全数 formula_19 是 formula_20 位数。 对于第二个假设，第五个完全数确实是以 formula_8 结尾，但是1588年，意大利数学家彼得罗·卡塔尔迪计出第六个完全数 formula_22，仍是以 formula_8 结尾，只能说欧几里得的公式给出的完全数以 formula_8 和 formula_20 结尾。卡塔尔迪证明了此结论。此外，还计出第七个完全数137,438,691,328。 对完全数的研究，至少已经有两千多年的历史。《几何原本》中就提出了寻求某种类型完全数的问题。 每一个梅森素数给出一个偶完全数；反之，每个偶完全数给出一个梅森素数，这结果称为欧几里得－欧拉定理。到 2018 年 12 月为止，共发现了 51 个完全数，且都是偶数。最大的已知完全数为 formula_26 共有 formula_27 位数。 性质. 以下是目前已发现的完全数共有的性质。 formula_28 → formula_29 → formula_30 formula_31 → formula_32 → formula_33 → formula_30 formula_37 formula_38 formula_39 formula_40 formula_41 formula_42 formula_43 formula_44 formula_46 formula_47 formula_48 formula_49 formula_50 formula_51 formula_53 formula_54 formula_55 formula_56 formula_57 formula_58 formula_59 奇完全数. 用计算机已经证实：在101500以下，没有奇完全数；至今还证明了，如果奇完全数存在，则它至少包含11个不同素数（包含一个不少于7位数的质因子）但不包含3，亦不会是立方数。一般猜测：奇完全数是不存在的。完全数的个数是否为无限？至今都不能回答。 美国数学家卡尔·帕梅朗斯提出了一个想法说明奇完全数不太可能存在。 formula_60 其中： * "q"，"p"1，…，"p""k"是不同的素数（Euler）。 * "q" ≡ α ≡ 1 (mod 4)（Euler）。 * "N"的最小素因子必须小于formula_61。 * formula_62≡formula_63...≡formula_64 ≡ 1（mod 3）的关系不能满足（McDaniel 1970）。 * 要么"q"α > 1062，要么对于某个"j"有formula_65 > 1062。 * formula_66 图查德定理. 这个定理说明若存在奇完全数，其形式必如formula_70或formula_71。最初的证明在1953年由首先证明，1951年巴尔塔萨·范德波尔用非线性偏微分方程得出证明。茱蒂·霍尔德纳在《美国数学月刊》第109卷第7期刊证了一个初等的证明。 证明会使用这四个结果：（下面的n,k,j,m,q均为正整数） 引理的证明（甲）： 使用反证法，设formula_74为完全数，且formula_84。 formula_85。因为3的二次剩余只有0,1，故formula_74非平方数，因此其正因数个数为偶数。 formula_74有正因数formula_88，则可得： formula_89且formula_90；或 formula_91且formula_92。 因此，formula_93。故formula_94。 但formula_95，矛盾。 故formula_74的形式只可能为formula_97或formula_98。 引理的证明（乙）： 使用反证法，设formula_74为完全数，且formula_100。 formula_100。因为4的二次剩余只有0,1，故formula_74非平方数，因此其正因数个数为偶数。 formula_74有正因数formula_88，则可得： formula_105且formula_106；或 formula_107且formula_108。 因此，formula_109。故formula_110。 但formula_111，矛盾。 故formula_74的形式只可能为formula_113。 若formula_114，根据欧拉的结果，formula_115，综合两者，得formula_116。 若formula_117，formula_115，得formula_119。若formula_120非3的倍数，3和formula_121互质。 因为formula_73为积性函数，可得formula_123。 但formula_124，出现了矛盾。故知formula_120是3的倍数。代入formula_126，可得formula_127。