无理数

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无理数无理数（irrational number）是指有理数以外的实数，当中的「理」字来自于拉丁语的rationalis，意思是「理解」，实际是拉丁文对于logos「说明」的翻译，是指无法用两整数之比来说明的无理数。非有理数之实数不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点后有无限多位，并且不会循环，即无限不循环小数（任何有限或无限循环小数可表示成两整数的比）。常见无理数有大部分的平方根、π和e（后两者同时为超越数）等。无理数另一特征是无限的连分数表达式。传说中，无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯斯发现，他以几何方法证明formula_1无法用整数及分数表示；而毕达哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示，不相信无理数存在，后来希伯斯触犯学派章程，将无理数透露给外人，因而被扔进海中处死，其罪名竟然等同于“渎神”。另见第一次数学危机。无理数可以通过有理数的分划的概念来定义。不知是否是无理数的数. π＋e、π－e等，事实上，对于任何非零整数formula_6及formula_7，不知道formula_8是否无理数。无理数与无理数的四则运算的结果往往不知道是否无理数，只有π－π＝0、formula_9等除外。我们亦不知道formula_10、formula_11、formula_12、欧拉－马歇罗尼常数formula_13、卡塔兰常数formula_14和费根鲍姆常数是否无理数。无理数集的特性. 无理数集是不可数集（有理数集是可数集而实数集是不可数集）。无理数集是不完备的拓扑空间，它与所有正数数列的集拓扑同构，当中的同构映射是无理数的连分数开展，因而贝尔纲定理可应用于无数间的拓扑空间。 formula_15，无理化作连分数的表达式. 选取正实数formula_16使 formula_17。经由递回处理 formula_18 无理数之证. 证明formula_1是无理数. 假设formula_1是有理数，且formula_21，formula_22是最简分数。两边平方，得formula_23。将此式改写为formula_24，可见formula_25为偶数。因为平方运算保持奇偶性，所以formula_26只能为偶数。设formula_27，其中formula_28为整数。代入可得formula_29。同理可得formula_30亦为偶数。这与formula_22为最简分数的假设矛盾，所以formula_1是有理数的假设不成立。证明formula_9是无理数. 假设formula_34是有理数，两边平方得 formula_35 其中因为formula_26是有理数，所以formula_37也是有理数。透过证明formula_38为无理数的方法，其中formula_39为一非完全平方数可以证明formula_40是无理数同样也推出formula_37是无理数但这又和formula_37是有理数互相矛盾所以formula_9是一无理数证明formula_44是无理数. 证一同样，假设formula_45是有理数，两边平方得 formula_46，于是formula_47是有理数。两边再次平方，得： formula_48，于是formula_49 由于formula_47是有理数，所以 formula_51 formula_52 透过证明形如formula_53的数是无理数的方法，得出formula_54也是一无理数但这结果明显和formula_55与formula_56皆为有理数出现矛盾，故formula_44为无理数证二同样假设formula_45是有理数， formula_45 formula_60，两边平方： formula_61 formula_62 formula_63 证明formula_53形式的数是无理数的方法，得出formula_65是无理数也是矛盾的。证明formula_66是无理数. formula_67 formula_68，两边平方得 formula_69 formula_70，得到formula_71为一有理数 formula_72，两边继续平方： formula_73 formula_74 formula_75 formula_76 formula_77 由于formula_71，formula_26皆为有理数设formula_80，formula_30亦为有理数证明formula_82形式的数是无理数的方法可知formula_83为无理数这和formula_30是有理数冲突所以得证formula_66为无理数

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