双线性映射

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双线性映射

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在数学中，一个双线性映射是由两个向量空间上的元素，生成第三个向量空间上一个元素之函数，并且该函数对每个参数都是线性的。例如矩阵乘法就是一个例子。定义. 设formula_1, formula_2和formula_3是在同一个基础域formula_4上的三个向量空间。双线性映射是函数 formula_5 使得对于任何"formula_2"中formula_7，映射 formula_8 是从"formula_1"到"formula_3"的线性映射，并且对于任何"formula_1"中的formula_12，映射 formula_13 是从"formula_2"到"formula_3"的线性映射。换句话说，如果保持双线性映射的第一个参数固定，并留下第二个参数可变，结果就是线性算子，如果保持第二个参数固定也是类似的。如果formula_16并且有formula_17对于所有"formula_1"中的formula_19，则我们称formula_20是对称的。当这里的"formula_3"是"formula_4"的时候，我们称之为双线性形式，它特别有用(参见例子标量积、内积和二次形式)。如果使用在交换环formula_23上的模替代向量空间，定义不需要任何改变。还可容易的推广到formula_24元函数，这里正确的术语是“多线性”。对非交换基础环"formula_23"和右模formula_26与左模formula_27的情况，我们可以定义双线性映射formula_28，这里的formula_29是阿贝尔环，使得对于任何formula_30中的formula_31是群同态，而对于任何formula_32中的formula_33是群同态，并还满足 formula_34 对于所有的"formula_32"中的formula_36，formula_30中formula_24和formula_23中的formula_40。定义formula_1, formula_2,"formula_3"是有限维的，则"formula_44"也是有限维的。对于"formula_45"就是双线性形式，这个空间的维度是formula_46（尽管线性形式的空间"formula_47"的维度是formula_48）。看得出来，选择formula_1和"formula_2"的基；接着每个线性映射可以唯一的表示为矩阵formula_51，反之亦然。现在，如果"formula_3"是更高维的空间，我们明显的有formula_53。

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