莫雷角三分线定理
在欧几里得几何中，莫雷角三分线定理（Morley's theorem）说明对所有的三角形，其三个内角作角三分线，靠近公共边三分线的三个交点，是一个等边三角形。此定理由法兰克·莫雷在1899年发现。对外角作外角三分线，也会有类似的性质，可以再作出4个等边三角形。
此定理没办法用尺规作图作出其等边三角形，因为已经证明出尺规作图无法作出三等分角。
证明.
引理.
由三倍角公式及和差公式可得出：
formula_1
formula_2
formula_3
formula_4
formula_5
formula_6
定理证明.
在formula_7中：
formula_8是formula_9的三等分角
formula_10是formula_11的三等分角
formula_12是formula_13的三等分角
作6条角三分线分别为formula_14、formula_15、formula_16、formula_17、formula_18、formula_19，作formula_20、formula_21、formula_22在formula_23上，且formula_24、formula_25
容易得出formula_26，由此等式还可以得出以下三式：
formula_27
formula_28
formula_29
由正弦定理可得出：
formula_30
formula_31
从这里可以得出formula_32的三个内角，计算出formula_33和formula_34的正弦值：
formula_35
formula_36
formula_37
我们知道：
formula_38
从引理我们可以得出：
formula_39
formula_40
化简后得出：
formula_41
因为formula_32和formula_43相似，所以可得出：
formula_44
formula_45
同理可得出：
formula_46
formula_47
综合以上结果，可得出formula_48，因此formula_49是等边三角形
推广.
更一般的莫雷角三分线定理由Taylor和Marr于1914年发表，将6条角三分线顺时钟和逆时钟旋转120°，其交点共可得出27个不同的等边三角形。
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