双曲复数
双曲复数（或--
），是异于复数而对实数所做的推广。
定义.
考虑数formula_1，其中formula_2是实数，而量formula_3不是实数，但formula_4是实数。
选取formula_5，得到一般复数。取formula_6的话，便得到双曲复数。
定义双曲复数的加法和乘法如下，使之符合交换律、结合律和分配律：
formula_7
formula_8
共轭、范数.
对于formula_1，其共轭值formula_10。对于任何双曲复数formula_11，
formula_12
formula_13
formula_14
可见它是自同构的。
定义内积为 formula_15 。若formula_16 ，说formula_11（双曲）正交。
双曲复数的平方范数就取自己和自己的内积，即自身和其共轭值之乘积（闵可夫斯基范数）：
formula_18。
这个范数非正定，其Metric signature是(1,1)。它在乘法下不变：formula_19。
除法.
除了0之外，也不是每个双曲复数都有乘法逆元。
formula_20
由此可见，双曲复数可逆若且唯若其平方范数非零。其形式均为formula_21，其中formula_22是实数。
基.
双曲复数的幂等元有：
列方程formula_23。有四个解：formula_24。
s和s^*都是不可逆的。它们可以作双曲复数的基。formula_25 。
若将formula_26表示成formula_27，双曲复数的乘法可表示成formula_28 。因此，在这个基里，双曲复数的加法和乘法和直和R⊕R同构。
共轭可表示为formula_29，范数formula_30。
几何.
有闵可夫斯基内积的二维实向量空间称为1+1闵可夫斯基空间，表示为R1,1。正如欧几里得平面R2的几何学可以复数表示，闵可夫斯基空间的几何学可以双曲复数表示。
在R，对于非零的formula_31，点集 formula_32 是双曲线。左边和右边的会经过formula_31和formula_34。formula_35称为单位双曲线。
共轭双曲线是formula_36 ，会分别经过formula_37和formula_38。双曲线和共轭双曲线会被成直角的两条渐近线 formula_39 分开。
欧拉公式的相应版本是formula_40。
历史.
1848年James Cockle提出了双复数。1882年威廉·金顿·克利福德以双曲复数表示自旋和。
20世纪，双曲复数成为描述狭义相对论的劳仑兹变换的工具，因为不同参考系之间的速度变换可由双曲旋转表达。
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