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核密度估计

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核密度估计（，缩写：KDE）是在概率论中用来估计未知的密度函数，属于非参数检验方法之一，由Rosenblatt (1955)和Emanuel Parzen(1962)提出，又名Parzen窗（Parzen window）。Ruppert和Cline基于数据集密度函数聚类算法提出修订的核密度估计方法。核密度估计在估计边界区域的时候会出现边界效应。在单变量核密度估计的基础上，可以建立风险价值的预测模型。通过对核密度估计变异系数的加权处理，可以建立不同的风险价值的预测模型。一些比较常用的核函数是：均匀核函数 formula_1，加入带宽formula_2后： formula_3。三角核函数 formula_4，加入带宽formula_2后： formula_6。伽马核函数 formula_7。定义. 设formula_8为从单变量分布中抽取的独立同分布样本，给定点formula_9有未知的概率密度formula_10，我们对估计函数formula_10的形状感兴趣，其核密度估计器是 formula_12 其中formula_13是非负的核函数，带宽formula_14为平滑参数。带下标h的核被称为缩放核，定义为formula_15。直觉上讲，在数据允许的范围内应当选择尽可能小的带宽；然而，偏差和方差之间总有所权衡。常用的核函数有：均匀核（Uniform）、三角核（Triangular）、双权核（Biweight）、三权核（Triweight）、Epanechnikov核、正态核（Normal）等。从均方误差的角度来看，Epanechnikov核是最佳的，尽管对于前面列出的核来说，效率的损失很小。由于其数学特性良好，正态核经常被使用，即formula_16，其中formula_17是标准正态密度函数。

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