反常积分
广义积分，又称为反常积分、异常积分（ ），是对普通定积分的推广。
广义积分可以分成两类，第一类又称为无穷积分，指积分区间的上限或下限为无穷的积分。第二类称为瑕积分，指被积函数在积分区间中含有不连续点的积分。
第一类反常积分.
定义.
第一类反常积分是无穷积分，指积分区间的上限或下限中含有无穷 ∞ 的积分。数学定义如下：
设函数 formula_1 在 formula_2 上连续且可积。定义无穷积分：
formula_3。
类似的，设函数 formula_1 在 formula_5 上连续且可积。定义无穷积分：
formula_6。
当上述极限存在时，称该积分收敛。当上述极限不存在时，称该积分发散。
例子如下：
formula_7；
formula_8，即发散；
formula_9 ，振动发散。
推广定义.
第一类反常积分的定义能进一步推广至上限及下限皆为无穷 ∞ 的积分。
设函数 formula_1 在 formula_11 上连续且可积。定义无穷积分：
formula_12。
或者取区间上任意一点 formula_13 ，分拆写成：
formula_14。
当上述极限同时存在时，称该积分收敛。当上述极限至少有一个不存在时，称该积分发散。
例子如下：
formula_15；
formula_16，即发散。
与柯西主值的联系.
在无穷积分的推广定义中，两个极限须分别处理，即两者的收敛速度可能不同。在柯西主值的理解下，可假设两个极限的收敛速度相同。
设函数 formula_1 在 formula_11 上连续且可积。定义无穷积分的柯西主值：
formula_19。
若在相同收敛速度下，两者可以互相抵消，则该积分的柯西主值存在。举例来说：
formula_20。
根据定义，若无穷积分收敛，则其柯西主值收敛，且二者相等。但无穷积分的柯西主值收敛，该积分未必收敛。
第二类反常积分.
定义.
第二类反常积分是瑕积分，指积分区间的上限或下限是被积函数的不连续点。数学定义如下：
设函数 formula_1 在 formula_22 上连续且可积，但在点 formula_23 不连续。定义瑕积分：
formula_24。
类似的，设函数 formula_1 在 formula_26 上连续且可积，但在点 formula_27 不连续。定义瑕积分：
formula_28。
当上述极限存在时，称该积分收敛。当上述极限不存在时，称该积分发散。
例子如下：
formula_29；
formula_30，即发散。
推广定义.
第二类反常积分的定义能进一步推广至上限及下限皆为不连续点，或上限及下限之间含有不连续点的积分。
设函数 formula_1 在 formula_32 上连续且可积，但在点 formula_23 及 formula_27 不连续。定义瑕积分：
formula_35。
或者取区间上任意一点 formula_13 ，分拆写成：
formula_37。
设函数 formula_1 在 formula_39 及 formula_40上连续且可积，但在点 formula_13 不连续。定义瑕积分：
formula_42。
当上述极限同时存在时，称该积分收敛。当上述极限至少有一个不存在时，称该积分发散。
例子如下：
formula_43；
formula_44，即发散。
与柯西主值的联系.
在瑕积分的推广定义中，两个极限须分别处理，即两者的收敛速度可能不同。在柯西主值的理解下，可假设两个极限的收敛速度相同。
设函数 formula_1 在 formula_32 上连续且可积，但在点 formula_23 及 formula_27 不连续。定义瑕积分的柯西主值：
formula_49；
设函数 formula_1 在 formula_39 及 formula_40上连续且可积，但在点 formula_13 不连续。定义瑕积分的柯西主值：
formula_54
若在相同收敛速度下，两者可以互相抵消，则该积分的柯西主值存在。举例来说：
formula_55。
根据定义，若瑕积分收敛，则其柯西主值收敛，且二者相等。但瑕积分的柯西主值收敛，该积分未必收敛。
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