矩阵力学
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矩阵力学是量子力学其中一种的表述形式，它是由海森堡、玻恩和约尔当（P. Jordan）于1925年完成的。矩阵力学的思想出发点是针对波耳模型中许多观点，诸如电子的轨道、频率等，都不是可以直接观察的。反之，在实验中经常接触到的是光谱线的频率、强度、偏极化，以及能阶。海森堡计划创造一个理论，只是用光谱线的频率、强度、偏极化等观念。他的做法是受到爱因斯坦在相对论中对时间、空间作“操作定义”分析的影响。
一般来说，基于薛丁格方程的线性代数形式，矩阵力学会将哈密顿量表述为矩阵，能量则为特征值。物理学家也可以从分析哈密顿矩阵而提取有关能阶、量子数等资讯，为原子物理等特定领域提供了一种研究途径。
矩阵力学的基本假定.
凡是矩阵力学，皆可建于以下的假定：
formula_11
对易关系的思想来源.
formula_11 这个条件是由波耳的频率条件直接得来；但对易关系是如何引进的呢?如何得知新的力学形式是用矩阵去表达的呢?
其实海森堡的思想来源是先来自周期系统的解；周期系统的解全都可用傅立叶级数去展示：
formula_13
在此的 formula_14, formula_15。
傅立叶级数有一个特点，就是对它进行运算，例如相加、相乘或微分，都不会产生除了formula_16以外的新频率系列。
但原子系统的频率是不能用傅立叶级数去表示，而是有一个叫里兹组合原则的经验关系：
formula_17
如果频率能表示为经验项之差（如氢原子的里德伯公式）：
formula_18
里兹组合原则即可满足，而在这里原子系统形成一个“二维”的系统；对于频率的“二维”本性，海森堡用“二维”的广义坐标
formula_19
去取代傅立叶分量 formula_20。而为了模拟傅立叶级数，要求“二维”数集有以下关系：
formula_21
至于谱线 formula_22 的幅度及偏振分别由 formula_23 及 formula_24 复数的相位去表示。从里兹组合原则及对应原理，可以知道这类“二维”数集的乘法规则是：
formula_25
以使“二维”数集的运算，都不会产生 formula_22 以外的新频率，如
formula_27
formula_28
海森堡只凭这些结果，就能得到谐振子的零点能是 formula_29，但计算其间要多次运用对应原理，先引入波耳-索末菲量子条件 formula_30，利用经典物理去估算量子物理的结果。
接著海森堡将他的结果转寄给玻恩，玻恩对于这些“二维”数集初时亦大感不解，后来他便意识到这些数集的运算与一个矩阵的运算是一模一样的，于是玻恩便与海森堡和约尔丹开展矩阵力学的建立。
首先，任何两个矩阵的乘法是不对易的：
formula_31
所以一个物理系统的广义坐标矩阵及其共轭动量满矩阵的乘积是不对易的：
formula_32
那么这个乘积会等于甚么呢？其实这个乘积等于甚么可从波耳-索末菲量子条件 formula_30 加上对应原理预示出来。
对于任何周期系统，作用量有：
formula_34
如 formula_35 都使用傅立叶级数表示，就有：
formula_36
所以 formula_37。
在波耳-索末菲的理论中，作用量被量子化：
formula_38
况且 formula_39。
由对应原理可知，经典理论的任何一个物理量 formula_40 的导数 formula_41，在量子理论中可用 formula_42，所以 formula_43 可用 formula_44 替代，在新的理论中又可用 formula_45 表达式替代，即
formula_46
将此代入上述的 formula_37，他们就得到关系式：
formula_48
这可用矩阵重新写成：
formula_49
他们便作以下的假定：一个物理系统的广义坐标矩阵及其共轭动量矩阵满足以下的对易关系：
formula_50
formula_9 为单位矩阵。
注意，千万不要以为对易关系能用波耳-索末菲量子条件「推导」出来，更不要以为它可从经典物理推导出来，总之，对易关系是一个全新的假定，只有实验才能确认它的真实性。
海森堡运动方程式及量子泊松括号.
根据上文的对易关系，如果有一个矩阵函数(哈密顿函数) formula_52，我们有以下的关系：
formula_53
formula_54
矩阵力学与波动力学等价性说明.
在此，采用狄拉克矢量记号。量子力学基本方程是
formula_55
薛定谔的波动力学就是（薛定谔绘景下）坐标空间表象下的上述方程，即
formula_56
海森堡的矩阵力学一般说来就是能量表象下的方程，即
formula_57
两者只是表象不同，自然是等价的。
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