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拓扑群

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在数学中，拓扑群是群 "G" 和与之一起的 "G" 上的拓扑，使得这个群的二元运算和这个群的取逆函数是连续的。拓扑群允许依据连续群作用来研究连续对称的概念。形式定义. 拓扑群 "G" 是拓扑空间和群使得群运算 formula_1 和 formula_2 是连续函数。这里的 "G" × "G" 被看作使用乘积拓扑得到拓扑空间。尽管我们这里没有做其他要求，很多作者要求在 "G" 上的拓扑是豪斯多夫空间。下面会讨论其理由和一些等价条件。最后，这不是个严重的限制 — 很多拓扑群都可以用规范方式变成豪斯多夫空间。使用范畴论的语言，拓扑群可以简明的定义为在拓扑空间范畴内的群对象，如同普通的群是集合范畴的群对象一样。同态. 在两个拓扑群 "G" 和 "H" 之间的同态就是连续群同态 "G" → "H"。拓扑群的同构则要求同时是群同构及对应拓扑空间的同胚。这比单纯要求连续群同构要更强，因其逆函数必须也是连续。有作为普通群是同构的但作为拓扑群却不同构的例子。实际上，任何非离散的拓扑群在用离散拓扑来考虑的时候也是（另一个）拓扑群。底层的群是一样的（同构），但两个拓扑群并非同构。拓扑群和它们的同态一起形成一个范畴。例子. 每个群可以平凡地变成一个拓扑群，这是通过给它一个离散拓扑达成地；这样的群称为离散群。在这个意义下，拓扑群的理论包含了普通群的理论。实数 R，以及加法操作和它的普通拓扑构成一个拓扑群。更一般的，欧几里得空间R"n"连同加法和标准的拓扑构成拓扑群。更一般的，所有拓扑向量空间（譬如巴拿赫空间和希尔伯特空间）的加法群是拓扑群。上面的例子都是阿贝尔群的例子。非交换群的例子有各种李群（是拓扑群也是流形）。例如，一般线性群GL("n",R)由所有可逆"n"×"n"实系数矩阵组成，可以视为拓扑群，其拓扑定义为将GL("n",R)作为欧几里得空间R"n"×"n"的子空间得到的子空间拓扑。所有李群是局部紧的。不是李群的拓扑群的一个例子是有理数Q其拓扑从实数继承。这是一个可数空间而它不是离散拓扑。对于一个非交换的例子，可以考虑R3的旋转群由绕不同轴作2π的无理数倍的两个旋转所生成的子群。在每个带乘法单位元的巴拿赫代数中，可逆元素的集合构成一个乘法下的拓扑群。性质. 拓扑群的代数和拓扑结构以非平凡的方式互相影响。例如，在任何拓扑群中单位分支（也就是包含单位的连通分支）是一个闭正规子群。拓扑群"G"上的逆运算给出了一个从G到其自身的同胚。同样，若a是G的任意元素，则a的左乘和右乘产生"G" → "G"的一个同胚。每个拓扑群可以两种方式视为一个一致空间；“左一致性”将所有左乘变成一个一致连续映射，而“右一致性”将所有右乘变为一致连续映射。若"G"非交换，则这两个一致性并不相同。这个一致性结构使得在拓扑群上讨论完备性、一致连续、和一致收敛成为可能。作为一个一致空间，每个拓扑群是一个完全正则空间。因而，若一个拓扑群是T0（也就是柯尔莫果洛夫空间），则它也是T2 (也即豪斯多夫空间)。两个拓扑群之间的最自然的同态概念是一个连续的群同态。拓扑群，和作为态射的连续群同态一起，构成一个范畴。每个拓扑群的子群本身也是一个拓扑群，只要取子空间拓扑便可。若"H"是G的一个子群，所有左或右陪集"G"/"H"是一个拓扑空间，只要取商拓扑便可（"G"/"H"上使得自然投影"q" : "G" → "G"/"H"连续的最细拓扑)。可以证明商映射"q" : "G" → "G"/"H"总是开映射。若"H"是一个G的正规子群，则因子群，"G"/"H"成为一个拓扑群，而从普通群理论来的同构基本定理在这个范围中也是成立的。但是，若"H"不是G的拓扑下的闭集，则"G"/"H"不是T0的，即使"G"是。因此很自然可以要求限制到只考虑T0拓扑群的范畴，并且限制定义中的正规到正规且闭。若"H"是G的子群，则H的闭包也是一个子群。同样，若H是一个正规子群，则H的闭包也是正规的。和数学其他领域的关系. 对于调和分析有特殊重要性的是局部紧拓扑群，因为它们承认一个自然的测度和积分的概念，由哈尔测度给出。在很多方面，局部紧拓扑群是可数群的一个推广，而紧拓扑群可以视为有限群的一个推广。群表示理论对于有限群和紧拓扑群几乎是完全一样的。

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