罗素悖论
罗素悖论
罗素悖论（），也称为理发师悖论、书目悖论，是英国哲学家伯特兰·罗素于1901年提出的悖论，一个关于类的内涵问题。
罗素悖论.
我们通常希望：任给一个性质(例如：「年满三十岁」就是一个性质)，满足该性质的所有集合总可以组成一个集合。但这样的企图将导致悖论：
罗素悖论：设有一性质formula_1，并以一性质函数表示：formula_2，且其中的自变量formula_3有此特性：formula_4，
现假设由性质formula_5能够确定一个满足性质formula_1的集合formula_7——也就是说 formula_8。那么现在的问题是formula_9是否成立？
首先，若formula_9，则formula_7是formula_7的元素，那么formula_7具有性质formula_1，由性质函数formula_1可以得知formula_16；
其次，若formula_16，根据定义，formula_7是由所有满足性质formula_1的类组成，也就是说，formula_7具有性质formula_5，所以formula_9。
罗素悖论还有一些更为通俗的描述，如理发师悖论、书目悖论。但理发师悖论被一些人认为只是罗素悖论的一种描述方式，仅以理发师悖论并无法完全叙述罗素悖论。
罗素悖论在类的理论中通过内涵公理而得到解决。
理发师悖论和罗素悖论等价.
理发师悖论：
一个城市里唯一的理发师立下了以下的规定：只帮那些自己不理发的人理发。
现在问一个问题：理发师应该为自己理发吗？
你会发现理发师处于两难，因为:
理发师悖论和罗素悖论是等价的：
因为，如果把每个人对应一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称，他对应的集合里的元素，都是城里不属于自己对应的集合的人，并且城里所有不属于自身对应集合的人都属于理发师对应的集合，那么他是否属于他自己对应的集合？这样就由理发师悖论得到罗素悖论。反过来的变换也是成立的。
罗素悖论与书目悖论等价.
另一种等价的悖论为书目悖论，第一类的书的目录有它自己的条目，经典的例子就是维基百科（以及多数的网络百科全书）。第二类的书目录则没有它自己的条目，一般的书目都是如此，问：今有一图书馆员，想将第二类的书名编辑成一册，则将所有第二类书籍名称统整的该书该不该拥有自己名称的条目？
假设（1）：拥有自己名称的条目
假设（2）：不拥有自己名称的条目
分析：
假设（1）：拥有自己名称的条目
表示该书是一本第一类的书
=>与命题不符（该书目录只有第二类）=>是第二类的书
假设（2）：不拥有自己名称的条目
表示该书为一本第二类的书
=>与命题不符（在目录没有该书名）=>是第一类的书
因为，如果把每本书对应一个集合，这个集合的元素被定义成这本书分类的方式。那么，该统整书对应的集合里的元素，都是馆内不属于自己对应的集合的书，并且馆内所有不属于自身对应集合的书都属于该统整书对应的集合，那么该书是否属于它自己对应的集合？这样就由书目悖论得到罗素悖论。
罗素悖论解决方案.
根据路德维希·维根斯坦的逻辑哲学论3.333,任何命题不能包含自身,同理一个函数不能包含自身。
例子:
假设一个函数formula_23,如果命题不能不包含自身(即可以包含自身),那么就会有formula_24这个命题就会同一个F但有2个意义的情况。内层F为φformula_25,外层F为Ψφformula_25。应写成「(∃φ):F(φu). φu」(维特根斯坦用「.」表示 「&」)
由此解决罗素悖论本身。
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