有限域

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有限域

有限域在数学中，有限域（）或伽罗瓦域（，为纪念埃瓦里斯特·伽罗瓦命名）是包含有限个元素的域。与其他域一样，有限域是进行加减乘除运算都有定义并且满足特定规则的集合。有限域最常见的例子是当 "p" 为素数时，整数对 "p" 取模。有限域的元素个数称为它的阶。有限域在许多数学和计算机科学领域的基础，包括数论、代数几何、伽罗瓦理论、有限几何学、密码学和编码理论。存在性与唯一性. 设 "q" = "pn" 为质数幂， "F" 为多项式 formula_5 于质数域 GF("p") 上的分裂域。换言之， "F" 是最低阶的有限域，使得 "P" 在 "F" 内有 "q" 个互异的根（注意 "P" 的为 formula_6 ，因此 "P" 无重根）。利用二项式定理，可证恒等式 formula_7 在特征为 "p" 的域上成立（中一新生之梦）。此恒等式说明 "P" 任两根之和或积仍为 "P" 的根。同时， "P" 的根的乘法逆元仍是根，因此 "P" 的根构成一个 "q" 阶的域。由 "F" 的最小性，可知此域即为 "F"。由于分裂域在同构意义下唯一， "q" 阶域也在同构意义下唯一（已证其为 formula_5 的分裂域）。而且，若域 F 有一个阶为 formula_9 的子域，则其元素恰为 formula_10 的 q 个根，所以 F 不能包含另一个阶为 q 的子域。 E·H·摩尔于 1893 年证明了以下的分类定理，可作为本节的总结： "有限域的阶为质数幂。对任意一个质数幂" "q," "都存在" "q" "阶的域，并且任意两个 " "q" " 阶的域都同构。该些域中，任意的元素 ""x"" 都满足" formula_11 "且多项式" "Xq" − "X" "可分解成" formula_12 由此可知，GF("pn") 有同构于 GF("pm") 的子域当且仅当 "m" 整除 "n"；该情况下，仅有唯一的子域与 GF("pm") 同构。多项式 "Xpm" − "X" 整除 "Xpn" − "X" 也是当且仅当 "m" 整除 "n." 弗罗贝尼乌斯自同构和伽罗瓦理论. 设 "p" 为质数， "q" = "p""n" 为质数幂。在 GF("q") 中，恒等式 ("x" + "y")"p" = "xp" + "yp" 说明映射 formula_13 是 GF("q") 上 GF("p")-线性的域自同构，其保持子域 GF("p") 的元素。该映射称为弗罗贝尼乌斯自同构，得名于费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯。记 "φk" 为 "φ" 的 "k" 次叠代，则 formula_14 此前已证明 "φn" 为恒同映射。若 0 "φk" 并非恒同映射，否则多项式 formula_15 就有多于 "pk" 个根，矛盾。此外 GF("q") 并无其他 GF("p")-自同构。换言之，GF("pn") 恰有 "n" 个 GF("p")-自同构，其为 formula_16 以伽罗瓦理论观之， GF("pn") 是 GF("p") 的伽罗瓦扩展，且其伽罗瓦群为循环群。弗罗贝尼乌斯映射为满射，因此任意一个有限域都是。一些小型的有限域. F2: F3: F4: 考虑formula_17 方程的根不在F2中。记其中一根为"A", 则formula_18且另一根为 formula_19

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