乘积法则
乘积法则
乘积法则（），也称积定则、莱布尼兹法则，是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则。
若已知两个可导函数formula_1及其导数formula_2，则它们的积formula_3的导数为：
formula_4
这个法则可衍生出积分的分部积分法。
莱布尼兹的发现.
人们将这个法则的发现归功于莱布尼兹，以下是他的论述：设"u"("x")和"v"("x")为"x"的两个可导函数。那么，"uv"的微分是：
formula_5
由于"du"·"dv"的，因此有：
formula_6
两边除以"dx"，便得：
formula_7
若用拉格朗日符号来表达，则等式记为
formula_8
证明一：利用面积.
假设
formula_9
且"f"和"g"在"x"点可导。那么：
formula_10
现在，以下的差
formula_11
是图中大矩形的面积减去小矩形的面积。
这个区域可以分割为两个矩形，它们面积的和为：
formula_12
因此，(1)的表达式等于：
formula_13
如果(5)式中的四个极限都存在，则(4)的表达式等于：
formula_14
现在：
formula_15
因为当"w" → "x"时，"f"("x")不变；
formula_16
因为"g"在"x"点可导；
formula_17
因为"f"在"x"点可导；以及
formula_18
因为"g"在"x"点连续（可导的函数一定连续）。
现在可以得出结论，(5)的表达式等于：
formula_19
证明二：使用对数.
设"f" = "uv"，并假设"u"和"v"是正数。那么：
formula_20
两边求导，得：
formula_21
把等式的左边乘以"f"，右边乘以"uv"，即得：
formula_22
证明三：使用导数的定义.
设 formula_9
且"f"和"g"在"x"点可导。那么：
formula_24
formula_25
formula_26
formula_27
formula_28.
formula_31
formula_36
推广.
其中formula_37是二项式系数。
应用.
乘积法则的一个应用是证明以下公式：
formula_38
其中"n"是一个正整数（该公式即使当"n"不是正整数时也是成立的，但证明需要用到其它方法）。我们用数学归纳法来证明这个公式。如果"n" = 1，formula_39
假设公式对于某个特定的"k"成立，那么对于"k" + 1，我们有：
formula_40
因此公式对于"k" + 1也成立。
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