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当且仅当

当且仅当 ↔⇔≡当且仅当的逻辑符号当且仅当（，-- ），在数位逻辑中，逻辑算符反互斥或闸（）是对两个运算元的一种逻辑分析类型，符号为XNOR或ENOR或formula_1。与一般的逻辑或非NOR不同，当两两数值相同为是，而数值不同时为否。在数学、哲学、逻辑学以及其他一些技术性领域中被用来表示“在这个条件成立，并且仅在这个条件成立时”之意。-{zh-tw:若; zh-cn:当; zh-hk:当;}-命题formula_2满足“-{zh-tw:若; zh-cn:当; zh-hk:当;}-formula_3则formula_4”且“仅当formula_3则formula_4”时，称为“当且仅当formula_3则formula_4”，其他等价的说法有“formula_4当且仅当formula_3”；“formula_3是formula_4的充分必要条件（充要条件）”；“formula_3等价于formula_4”。一般而言，当我们看到“当且仅当formula_3则formula_4”，我们可以知道“如果formula_3成立时，则formula_4一定成立；如果formula_4成立时，则formula_3也一定成立”；“如果formula_3不成立时，则formula_4一定不成立；如果formula_4不成立时，则formula_3也一定不成立”。当且仅当. 标记. 与此相对应的逻辑符号是formula_25和formula_1。这两个通常被当作是相等的。但是，一些数学教科书，特别是那些关于一阶逻辑而非命题逻辑对此有所区别，在那里前者被用来表示逻辑公式，后者表示那些公式的推理（譬如说在元逻辑中）。证明. 设formula_3与formula_4为两命题，在证明“当且仅当formula_3则formula_4”时，这相当于去同时证明陈述“如果formula_3成立，则formula_4成立”和“如果formula_4成立，则formula_3成立”。另外，也可以证明“如果formula_3成立，则formula_4成立”和“如果formula_3不成立，则formula_4不成立”，后者作为对偶，等价于“如果formula_4成立，则formula_3成立”。 === 有关英语缩写-- 的开端 === 在出版物中，英语-- 的表示标记最早出现在约翰·L·凯利的《一般拓扑学》中。它的发明通常被认为是归于数学家保罗·哈尔莫斯，但在哈尔莫斯的自传中却声明该标记另有出处，他只是首先在数学领域使用。 “-{zh-tw:若; zh-cn:当; zh-hk:当;}-”与“当且仅当”. 简单地，如下的两个例子可以说明这两者的不同：第1句指小王一定会吃香草口味的冰淇淋，但没有排除他会吃香草口味以外冰淇淋的可能性，能肯定的是他不会拒绝香草口味的冰淇淋。第2句指小王一定吃且只吃香草口味的冰淇淋，他不会吃其它口味的冰淇淋。进一步的思考. 用「当且仅当」连接两个句子造成的句子被称为是“双条件句”。“当且仅当”把两个句子结合成新的句子。它不应该跟描述两个句子之间关系的“逻辑等价”混淆。双条件句“当且仅当formula_3则formula_4”，是用formula_3和formula_4来陈述formula_3和formula_4所描述的事件状况之间的关系。相对照的，“formula_3逻辑等价于formula_4”则注重两个句子：它只是陈述两个句子之间的关系，而不是它们所介绍的什么事情。这里的区别非常容易混淆，已经使得很多哲学家迷惑。当然，在“formula_3逻辑等价于formula_4”时，“当且仅当formula_3则formula_4”为真，但是它的逆并不成立。让我们重新考虑上面的句子：很清楚，对于这个特定的双条件句，两个半句之间并没有逻辑等价。在哲学和逻辑学中，“当且仅当”通常用作定义，因为定义被认为是全称量化的双条件句。但在数学中，相比起“当且仅当”，"如果"通常被用于定义。这里给出一些使用到“当且仅当的”真陈述，也是真双条件句（第一句是一个定义的例子）：更一般的用法. “当且仅当”在逻辑领域以外，在数学出版物或者普通的谈话中也会用到。如同上面所说，它指的是某个陈述是另外一个的充分必要条件。这是一个数学术语的例子。

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