二元搜寻树 二叉查找树（），也-{zh-cn:称为二叉搜索树、; zh-tw:称为;}-有序二叉树（-- ）或排序二叉树（-- ），是指一棵空树或者具有下列性质的二叉树： 二叉查找树相比于其他数据结构的优势在于查找、插入的时间复杂度较低。为formula_1。二叉查找树是基础性数据结构，用于构建更为抽象的数据结构，如集合、多重集、关联数组等。 二叉查找树的查找过程和次优二叉树类似，通常采取二叉链表作为二叉查找树的存储结构。中序遍历二叉查找树可得到一个关键字的有序序列，一个无序序列可以透过建构一棵二叉查找树变成一个有序序列，建构树的过程即为对无序序列进行查找的过程。每次插入的新的结点都是二叉查找树上新的叶子结点，在进行插入操作时，不必移动其它结点，只需改动某个结点的指针，由空变为非空即可。搜索、插入、删除的复杂度等于树高，期望formula_1，最坏退化为偏斜二元树formula_3。对于可能形成偏斜二元树的问题可以经由树高改良后的平衡树将搜寻、插入、删除的时间复杂度都维持在formula_1，如AVL树、红黑树等。 二叉查找树的查找算法. 在二叉查找树b中查找x的过程为： Status SearchBST(BiTree T, KeyType key, BiTree f, BiTree &p) { // 在根指针T所指二叉查找树中递归地查找其关键字等于key的数据元素，若查找成功， // 则指针p指向该数据元素节点，并返回TRUE，否则指针指向查找路径上访问的最后 // 一个节点并返回FALSE，指针f指向T的双亲，其初始调用值为NULL if (!T) { // 查找不成功 p = f; return false; } else if (key == T->data.key) { // 查找成功 p = T; return true; } else if (key data.key) // 在左子树中继续查找 return SearchBST(T->lchild, key, T, p); else // 在右子树中继续查找 return SearchBST(T->rchild, key, T, p); 在二叉查找树插入节点的算法. 向一个二元搜寻树b中插入一个节点s的算法，过程为： /* 当二元搜寻树T中不存在关键字等于e.key的数据元素时，插入e并返回TRUE，否则返回 FALSE */ Status InsertBST(BiTree *&T, ElemType e) { if (!T) { s = new BiTNode; s->data = e; s->lchild = s->rchild = NULL; T = s; // 被插节点*s为新的根结点 } else if (e.key == T->data.key) return false;// 关键字等于e.key的数据元素，返回错误 if (e.key data.key) InsertBST(T->lchild, e); // 将 e 插入左子树 else if (e.key > T->data.key) InsertBST(T->rchild, e); // 将 e 插入右子树 return true; 在二叉查找树删除结点的算法. 在二叉查找树删去一个结点，分三种情况讨论： 在二叉查找树上删除一个结点的算法如下： Status DeleteBST(BiTree *T, KeyType key) { // 若二叉查找树T中存在关键字等于key的数据元素时，则删除该数据元素，并返回 // TRUE；否则返回FALSE if (!T) return false; //不存在关键字等于key的数据元素 else { if (key == T->data.key) // 找到关键字等于key的数据元素 return Delete(T); else if (key data.key) return DeleteBST(T->lchild, key); else return DeleteBST(T->rchild, key); Status Delete(BiTree *&p) { // 该节点为叶子节点，直接删除 BiTree *q, *s; if (!p->rchild && !p->lchild) { delete p; p = NULL; // Status Delete(BiTree *&p) 要加&才能使P指向NULL } else if (!p->rchild) { // 右子树空则只需重接它的左子树 q = p->lchild; p->data = p->lchild->data; p->lchild=p->lchild->lchild; p->rchild=p->lchild->rchild; p->data = q->data; p->lchild = q->lchild; p->rchild = q->rchild; delete q; } else if (!p->lchild) { // 左子树空只需重接它的右子树 q = p->rchild; p->data = p->rchild->data; p->lchild=p->rchild->lchild; p->rchild=p->rchild->rchild; p->data = q->data; p->lchild = q->lchild; p->rchild = q->rchild; delete q; } else { // 左右子树均不空 q = p; s = p->lchild; while (s->rchild) { q = s; s = s->rchild; } // 转左，然后向右到尽头 p->data = s->data; // s指向被删结点的“前驱” if (q != p) q->rchild = s->lchild; // 重接*q的右子树 else q->lchild = s->lchild; // 重接*q的左子树 delete s; return true; 在C语言中有些编译器不支持为codice_1 节点分配空间，声称这是一个不完全的结构，可使用一个指向该codice_2的指针为之分配空间。 Python实现： def find_min(self): # Gets minimum node (leftmost leaf) in a subtree current_node = self while current_node.left_child: current_node = current_node.left_child return current_node def replace_node_in_parent(self, new_value=None): if self.parent: if self == self.parent.left_child: self.parent.left_child = new_value else: self.parent.right_child = new_value if new_value: new_value.parent = self.parent def binary_tree_delete(self, key): if key self.key: self.right_child.binary_tree_delete(key) else: # delete the key here if self.left_child and self.right_child: # if both children are present successor = self.right_child.find_min() self.key = successor.key successor.binary_tree_delete(successor.key) elif self.left_child: # if the node has only a *left* child self.replace_node_in_parent(self.left_child) elif self.right_child: # if the node has only a *right* child self.replace_node_in_parent(self.right_child) else: # this node has no children self.replace_node_in_parent(None) 二叉查找树的遍历. 中序遍历（in-order traversal）二叉查找树的Python代码： def traverse_binary_tree(node, callback): if node is None: return traverse_binary_tree(node.leftChild, callback) callback(node.value) traverse_binary_tree(node.rightChild, callback) 排序（或称构造）一棵二叉查找树. 用一组数值建造一棵二叉查找树的同时，也把这组数值进行了排序。其最差时间复杂度为formula_5。例如，若该组数值已经是有序的（从小到大），则建造出来的二叉查找树的所有节点，都没有左子树。自平衡二叉查找树可以克服上述缺点，其时间复杂度为O("n"log "n")。一方面，树排序的问题使得CPU Cache性能较差，特别是当节点是动态内存分配时。而堆排序的CPU Cache性能较好。另一方面，树排序是最优的增量排序（incremental sorting）算法，保持一个数值序列的有序性。 def build_binary_tree(values): tree = None for v in values: tree = binary_tree_insert(tree, v) return tree def get_inorder_traversal(root): Returns a list containing all the values in the tree, starting at *root*. Traverses the tree in-order(leftChild, root, rightChild). result = [] traverse_binary_tree(root, lambda element: result.append(element)) return result 二叉查找树性能分析. 每个结点的formula_6为该结点的层次数。最坏情况下，当先后插入的关键字有序时，构成的二叉查找树蜕变为单支树，树的深度为formula_7，其平均查找长度为formula_8（和顺序查找相同），最好的情况是二叉查找树的形态和折半查找的判定树相同，其平均查找长度和formula_9成正比（formula_10）。 二叉查找树的优化. 一般的二叉查找树的查询复杂度取决于目标结点到树根的距离（即深度），因此当结点的深度普遍较大时，查询的均摊复杂度会上升。为了实现更高效的查询，产生了平衡树。在这里，平衡指所有叶子的深度趋于平衡，更广义的是指在树上所有可能查找的均摊复杂度偏低。请参见主条目平衡树。