三角形 三角形，又称三边形（英语： Triangle），是由三条线段顺次首尾相连，或不共线的三点两两连接，所组成的一个闭合的平面几何图形，是最基本和最少边的多边形。 一般用大写英语字母formula_1、formula_2和formula_3为三角形的顶点标号；用小写英语字母formula_4、formula_5和formula_6表示边；用formula_7、formula_8和formula_9给角标号，又或者以formula_10这样的顶点标号来表示。 分类. 以角度分类. 锐角三角形. 锐角三角形的所有内角均为锐角。 钝角三角形. 钝角三角形是其中一角为钝角的三角形，其余两角均小于90°。 直角三角形. 有一个角是直角（90°）的三角形为直角三角形。成直角的两条边称为「直角边」（cathetus），直角所对的边是「斜边」（hypotenuse）；或最长的边称为「弦」，底部的一边称作「勾」（又作「句」），另一边称为「股」。斜边乘上斜边上的高÷2=勾股相乘÷2=此直角三角形面积（ch=ab） 三角函数. 直角三角形各边与角度的关系，可以三角比表示。 以边长分类. 不等边三角形. 三条边边长皆不相等的三角形称为不等边三角形。 等边三角形. 等边三角形（又称正三角形），为三边相等的三角形。其三个内角相等，均为60°。它是锐角三角形的一种。设其边长是 formula_4 ，则其面积公式为 formula_12 。 等边三角形是正四面体、正八面体和正二十面体这三个正多面体面的形状。六个边长相同的等边三角形可以拼成一个正六边形。 等腰三角形. 等腰三角形是三条边中有两条边相等（或是其中两只内角相等）的三角形。等腰三角形中的两条相等的边被称为「腰」，而另一条边被称为「底边」，两条腰交叉组成的那个点被称为「顶点」，它们组成的角被称为「顶角」。 等边三角形和等腰直角三角形是等腰三角形的特殊形式。 令其底边是 formula_5 ，腰是 formula_4，则其面积公式为 formula_15 等腰三角形的对应高，角平分线和中线重合。 退化三角形. 退化三角形是指面积为零的三角形。满足下列条件之一的三角形即可称为退化三角形：三个内角的度数为(180°,0°,0°)或(90°,90°,0°)；三边其中一条边的长度为0；一条边的长度等于另外两条之和。有人认为退化三角形并不能算是三角形，这是由于它介乎于三角不等式之间，在一些资料中已否定了其中一条边等于其余两条边之和的情况。 勒洛三角形. 勒洛三角形（），也译作莱洛三角形或弧三角形，又被称为划粉形或曲边三角形，是除了圆形以外，最简单易懂的勒洛多边形，一个定宽曲线。将一个曲线图放在两条平行线中间，使之与这两平行线相切，则可以做到：无论这个曲线图如何运动，只要它还是在这两条平行线内，就始终与这两条平行线相切。这个定义由十九世纪的德国工程师命名。 一般性质. 勾股定理. 勾股定理，又称毕氏定理或毕达哥拉斯定理。其断言，若直角三角形的其中一边 formula_6 为斜边，即 formula_6 的对角 formula_18 ，则 formula_19。 勾股定理的逆定理亦成立，即若三角形满足 formula_19， 则 formula_18 正弦定理. 设 formula_22 为三角形外接圆半径，则 formula_23 余弦定理. 对于任意三角形： formula_24 formula_25 formula_26 勾股定理是本定理的特殊情况，即当角 formula_27 时， formula_28 ，于是 formula_29 化简为 formula_30 。 全等及相似. 全等三角形. 三角形具有稳定性，若二个三角形有以下的边角关系确定后，它的形状、大小就不会改变，二个三角形即为全等三角形。全等三角形的判断准则有以下几种： SSA（Side-Side-Angle、边、边、角）不能保证两个三角形全等，除非该角大于等于90°，此时可以保证全等。:34 特殊线段. 三角形中有著一些特殊线段，是三角形研究的重要对象。 以上特殊线段，每个三角形均有三条，且三线共点。 中线长度. 设在formula_31中，若三边formula_4、formula_5、formula_34的中线分别为formula_35、formula_36、formula_37，则： formula_38 formula_39 formula_40 高线长度. 设在formula_31中，连接三个顶点formula_1、formula_2、formula_3上的高分别记作formula_45、formula_46、formula_47，则： formula_48 formula_49 formula_50 其中 formula_51 。 角平分线长度. 设在formula_31中，若三个角formula_1、formula_2、formula_3的角平分线分别为formula_56、formula_57、formula_58，则： formula_59 formula_60 formula_61 三角形的心. 三角形的内心(Incenter) 、外心(Circumcenter)、垂心(Orthocenter) 及形心(Centroid)称为三角形的四心，定义如下： 关于三角形的四心，有这样的一首诗： 垂心（蓝）、形心（黄）和外心（绿）能连成一线，且成比例1:2，称为欧拉线，与九点圆的圆心（红）四点共线，为垂心和形心线段的中点。 连同以下的旁心，合称为三角形的五心： 外接圆和内切圆半径. 设外接圆半径为formula_22 ， 内切圆半径为formula_63 ，则： formula_64 formula_65 其中formula_66为三角形面积；formula_67为三角形半周长，formula_51 面积. 基本公式. 三角形的面积 formula_1 是底边 formula_70 与高 formula_71 乘积的一半，即： formula_72， 其中的高是指底边与对角的垂直距离。 证明 从右图可知，将两个全等三角形相拼，可得一平行四边形。而将该平行四边形分割填补，正好能得到一个面积等于 formula_73 的长方形。因此原来的三角形面积为 formula_72。 证毕。 已知两边及其夹角. 设 formula_4 formula_5 为已知的两边， formula_9 为该两边的夹角，则三角形面积是： formula_78。 证明 观察右图，根据正弦的定义： formula_79。 因此： formula_80。 将此式代入基本公式，可得： formula_81。 证毕。 已知两角及其夹边. formula_8 、 formula_9 为已知的两角， formula_4 为该两角的夹边，则三角形面积是： formula_85。 证明 从正弦定理可知： formula_86 代入 formula_87 ，得： formula_88。 注意到formula_89，因此： formula_90 证毕。 已知三边长. 海龙公式，其表示形式为： formula_91， 其中 formula_67 等于三角形的半周长，即： formula_51 秦九韶亦求过类似的公式，称为三斜求积法： formula_94 也有用幂和来表示的公式： formula_95 证明 将海伦公式略为变形，知 formula_96 多次使用平方-{}-差公式，得 formula_97 等号两边开根号，再同除以4，得 formula_98 亦可用Cayley–Menger行列式表示的公式： formula_99 基于海伦公式在三角形拥有非常小的角度时并不数值稳定，有一个变化的计法。设 formula_100 ，三角形面积为： formula_101。 证明 设 formula_4 、 formula_5、formula_6为三角形三条边， formula_7 、 formula_8 、 formula_9 为相应边的对角。从余弦定理可知： formula_108 以毕氏三角恒等式可得： formula_109。 将此式代入formula_78，得： formula_111。 因式分解及简化后可得： formula_112 代入formula_51，即可证毕。 已知坐标系中三顶点坐标. 由 formula_114 、 formula_115 及 formula_116 三个顶点构成的三角形，其面积可用行列式的绝对值表示： formula_117 证明 无论三角形的顶点位置如何，该三角形总可以用一个直角梯形（或矩形）和两个直角三角形面积的和差来表示，而在直角坐标系中，已知直角梯形（或矩形）和直角三角形的顶点的坐标，该三角形的面积容易求出，即用上述的行列式表示。 若三个顶点设在三维座标系上，即由 formula_118 、 formula_119 及 formula_120 三个顶点构成三角形，其面积等于各自在主平面上投影面积的毕氏和，即： formula_121 已知周界及内切圆或外接圆半径. 设三角形三边边长分别为 formula_4 、 formula_5 及 formula_6 ，三角形半周长（ formula_125 ）为 formula_67 ，内切圆半径为 formula_63，则： formula_128 若设外接圆半径为 formula_22 ，则： formula_130 证明 内切圆半径公式 根据右图，设 formula_131 ， formula_132 ， formula_133 ，则三角形面积可表示为： formula_134 外接圆半径公式 根据正弦定理： formula_135 因此： formula_136 已知两边向量. 设从一角出发，引出两边的向量为 formula_137 及 formula_138 ，三角形的面积为： formula_139 证明 根据向量积定义，formula_140， 其中 formula_141 是两支向量的夹角。 因此： formula_142 证毕。 半角定理. 在三角形formula_143中，三个角的半角的正切和三边有如下关系： formula_144 证明 以正弦及余弦之比表示正切： formula_145 因为 formula_146 formula_147 所以 formula_148 formula_149 formula_150 而 formula_151 formula_152 formula_153 所以 formula_154 同理可得 formula_155 formula_156