标准差 标准差，又称标准偏-{差、-{均方差 （，缩写-- ，符号-- ），在概率统计中最常使用作为测量一组数值的离散程度之用。标准差定义：为方差开算术平方根，反映组内个体间的离散程度；标准差与期望值之比为标准离差率。测量到分布程度的结果，原则上具有两种性质： 一个总量的标准差或一个随机变数的标准差，及一个子集合样品数的标准差之间，有所差别。其公式如下所列。 标准差的概念由卡尔·皮尔森引入到统计中。 阐述及应用. 简单来说，标准差是一组数值自平均值分散开来的程度的一种测量观念。一个较大的标准差，代表大部分的数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。 例如，两组数的集合{0, 5, 9, 14}和{5, 6, 8, 9}其平均值都是7，但第二个集合具有较小的标准差。 表述“相差formula_1个标准差”，即在 formula_2 的样本（sample）范围内考量。 标准差可以当作不确定性的一种测量。例如在物理科学中，做重复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。当要决定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色：如果测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较），则认为测量值与预测值互相矛盾。这很容易理解，因为如果测量值都落在一定数值范围之外，可以合理推论预测值是否正确。 标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的指标。标准差数值越大，代表回报远离过去平均数值，回报较不稳定故风险越高。相反，标准差数值越小，代表回报较为稳定，风险亦较小。 formula_3 母体的标准差. 基本定义. formula_4为平均值。 简化计算公式. 上述公式可以如下代换而简化： formula_5 所以： formula_6 根号里面，亦即变异数（formula_7）的简易口诀为：「平方和的平均」减去「平均的平方」。 母体为随机变量. 一随机变量formula_8的标准差定义为： formula_9 须注意并非所有随机变量都具有标准差，因为有些随机变量不存在期望值。 如果随机变量formula_8为formula_11具有相同机率，则可用上述公式计算标准差。 离散随机变量的标准差. 若formula_8是由实数formula_13构成的离散随机变数（），且每个值的机率相等，则formula_8的标准差定义为： formula_15　，其中　formula_16 换成用formula_17来写，就成为： formula_18　，其中　formula_16 目前为止，与母体标准差的基本公式一致。 然而若每个formula_20可以有不同机率formula_21，则formula_8的标准差定义为： formula_23　，其中　formula_24 这里，formula_25为formula_8的数学期望。 连续随机变量的标准差. 若formula_8为概率密度formula_28的连续随机变量（），则formula_8的标准差定义为： formula_30 其中formula_25为formula_8的数学期望： formula_33 标准差的特殊性质. 对于常数formula_34和随机变量formula_8和formula_36： formula_37 formula_38 formula_39 其中： *formula_40表示随机变量formula_8和formula_36的协方差。 *formula_43表示formula_44，即formula_45（formula_46的变异数），对formula_47亦同。 样本的标准差. 在真实世界中，找到一个总体的真实的标准差并不实际。大多数情况下，总体标准差是通过随机抽取一定量的样本并计算样本标准差估计的。 从一大组数值formula_48当中取出一样本数值组合formula_49，常定义其样本标准差： formula_50 样本方差formula_51是对总体方差formula_7的无偏估计。之所以formula_53中的分母要用formula_54而不是像总体样本差那样用formula_55，是因为formula_56的自由度为formula_57，这是由于存在约束条件formula_58。 范例. 这里示范如何计算一组数的标准差。例如一群孩童年龄的数值为{ 5, 6, 8, 9 }： formula_60 当formula_61（因为集合里有4个数），分别设为： formula_62 则平均值为 formula_63 formula_65 常态分布的规则. 在实际应用上，常考虑一组数据具有近似于常态分布的机率分布。若其假设正确，则约68%数值分布在距离平均值有1个标准差之内的范围，约95%数值分布在距离平均值有2个标准差之内的范围，以及约99.7%数值分布在距离平均值有3个标准差之内的范围。称为「68-95-99.7法则」。 formula_66 formula_67 formula_68. 标准差与平均值之间的关系. 一组数据的平均值及标准差常常同时作为参考的依据。从某种意义上说，如果用平均值来考量数值的中心的话，则标准差也就是对统计的分散度的一个“自然”的测度。因为由平均值所得的标准差要小于到其他任何一个点的标准差。较确切的叙述为：设formula_48为实数，定义函数： formula_70 使用微积分或者通过配方法，不难算出formula_71在下面情况下具有唯一最小值： formula_72 几何学解释. 从几何学的角度出发，标准差可以理解为一个从formula_55维空间的一个点到一条直线的距离的函数。举一个简单的例子，一组数据中有3个值，formula_74。它们可以在3维空间中确定一个点formula_75。想像一条通过原点的直线formula_76。如果这组数据中的3个值都相等，则点formula_77就是直线formula_78上的一个点，formula_77到formula_78的距离为0，所以标准差也为0。若这3个值不都相等，过点formula_77作垂线formula_82垂直于formula_78，formula_82交formula_78于点formula_86，则formula_86的坐标为这3个值的平均数： formula_88 运用一些代数知识，不难发现点formula_77与点formula_86之间的距离（也就是点formula_77到直线formula_78的距离）是formula_93。在formula_55维空间中，这个规律同样适用，把formula_95换成formula_55就可以了。