测度
测度
在数学中，测度是一种将几何空间的度量（长度、面积、体积）和其他常见概念（如大小、质量和事件的概率）广义化后产生的概念。传统的黎曼积分是在区间上进行的，为了把积分推广到更一般的集合上，人们就发展出测度的概念。一个特别重要的例子是勒贝格测度，它从 formula_1 维欧式空间 formula_2 出发，概括了传统长度、面积和体积等等的概念。
研究测度的学问被统称为测度论，因为指定的数值通常是非负实数，所以测度论通常会被视为实分析的一个分支，它在数学分析和概率论有重要的地位。
正式定义.
直观上，测度是「体积」的推广；因为空集合的「体积」当然为零，而且互相独立的一群（可数个）物体，总「体积」当然要是所有物体「体积」直接加总（的极限）。而要定义「体积」，必须先要决定怎样的一群子集合，是「可以测量的」，详细请见σ-代数。
如果将 formula_3 的值域扩展到复数，也就是说 formula_4 ，那 formula_3 会被进一步称为复数测度。
定义的分歧.
若照著上述定义，根据可数可加性，不少母集合本身的测度值会变成无穷大（如对 formula_2 本身取勒贝格测度），所以实际上不存在。但某些书籍会形式上将无穷大视为一个数，而容许测度取值为无穷大；这样定义的书籍，会把只容许有限实数值的测度称为（非负）有限测度。但这样"定义"，会造成可数可加性与数列收敛的定义产生矛盾。
所以要延续体积是一种＂度量＂的这种直观概念（也就是严谨的定义勒贝格测度），那就必须把σ-代数换成条件比较宽松的，然后以此为基础去定义一个对应到＂体积＂的。
更进一步的，如果对测度空间 formula_7 来说，母集合 formula_8 可表示为 formula_9 内的某可测集合序列 formula_10 的并集：
formula_11
且 formula_3 只容许取有限值，则 formula_3 会被进一步的称为（非负）σ-有限测度。
性质.
单调性.
测度formula_14的单调性：
若formula_15和formula_16为可测集，而且formula_17，则formula_18。
可数个可测集的并集的测度.
若formula_19为可测集（不必是两两不交的），则集合formula_20的并集是可测的，且有如下不等式（「次可列可加性」）：
formula_21
如果还满足并且对于所有的formula_22，formula_20⊆formula_24，则如下极限式成立：
formula_25
可数个可测集的交集的测度.
若formula_26为可测集，并且对于所有的formula_22，formula_24⊆formula_20，则formula_20的交集是可测的。进一步说，如果至少一个formula_20的测度有限，则有极限：
formula_32
如若不假设至少一个formula_20的测度有限，则上述性质一般不成立。例如对于每一个formula_34，令
formula_35
这里，全部集合都具有无限测度，但它们的交集是空集。
完备性.
直观上，因为测度的单调性，只要包含于零测集的集合，也「应该」是零测集，完备测度的定义体现了这个直观的想法。更进一步的，任意测度可以按如下的定理扩展为完备测度：
例子.
下列是一些测度的例子（顺序与重要性无关）。
其它例子，包括：狄拉克测度、波莱尔测度、若尔当测度、遍历测度、欧拉测度、高斯测度、贝尔测度、拉东测度。
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