九点圆定理
九点圆定理
九点圆定理指出：在平面中，对所有三角形，其三边的中点、三高的垂足、顶点到垂心的三条线段的中点，必然共圆，这个圆被称为九点圆，又称欧拉圆、费尔巴哈圆。
九点圆具有以下性质：
历史.
1765年，莱昂哈德·欧拉证明：「垂心三角形和垂足三角形有共同的外接圆（六点圆）。」许多人误以为九点圆是由欧拉发现所以又称乎此圆为欧拉圆。而第一个证明九点圆的人是彭赛列（1821年）。1822年，卡尔·威廉·费尔巴哈也发现了九点圆，并得出「九点圆和三角形的内切圆和旁切圆相切」，因此德国人称此圆为费尔巴哈圆，并称这四个切点为费尔巴哈点。柯立芝与大上茂乔（Shigetaka Ooue）分别于1910年与1916年发表「圆周上四点任取三点做三角形，四个三角形的九点圆圆心共圆。」这个圆还被称为四边形的九点圆，此结果还可推广到n边形。
九点圆证明.
如图：formula_1、formula_2、formula_3为三边的中点，formula_4、formula_5、formula_6为垂足，formula_7、formula_8、formula_9为和顶点到垂心的三条线段的中点。
性质证明.
九点圆的半径是外接圆的一半，且九点圆平分垂心与外接圆上的任一点的连线。
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