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蝴蝶定理

蝴蝶定理蝴蝶定理（Butterfly theorem），是古典欧氏平面几何的最精彩的结果之一。蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，这个命题最早出现在1815年，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，题目的几何图形象一只蝴蝶，便以此命名。这个定理的证法多得不胜枚举，至今仍然被数学热爱者研究，在考试中时有出现各种变形。最基本的叙述为：设"M"为圆内弦"PQ"的中点，过"M"作弦"AB"和"CD"。设AD和"BC"各相交"PQ"于点"X"和"Y"，则"M"是"XY"的中点。这个命题最早作为一个征解问题出现在公元1815年英国的一本杂志《男士日记》（Gentleman's Diary）39-40页上。登出的当年,英国一个自学成才的中学数学教师W.G.霍纳（他发明了多项式方程近似根的霍纳法）给出了第一个证明，完全是初等的；另一个证明由理查德·泰勒（Richard Taylor）给出。一种早期的证明由M.布兰德（Miles Bland）在《几何问题》（1827年）一书中给出。最为简洁的证法是射影几何的证法，由英国的J·开世在"A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid"（中译：近世几何学初编，李俨译，上海商务印书馆 1956 ）给出，只有一句话，用的是线束的交比。1981年，Crux杂志刊登了K.萨蒂亚纳拉亚纳（Kesirajn Satyanarayana）用解析几何的一种比较简单的方法（利用直线束，二次曲线束）。该定理实际上是射影几何中一个定理的特殊情况，有多种推广：证明. 从formula_3向formula_4和formula_5作垂线，设垂足分别为formula_6和formula_7。类似地，从formula_8向formula_9和formula_10作垂线，设垂足分别为formula_11和formula_12。现在，由于 formula_13 formula_14 formula_15 formula_16 formula_17 formula_18 formula_19 formula_20 从这些等式，可以很容易看出： formula_21 formula_22 formula_23 formula_24 由于formula_25 = formula_26 现在， formula_27 因此，我们得出结论： formula_28，也就是说，formula_1是formula_30的中点。证毕。

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