婆罗摩笈多公式
婆罗摩笈多公式
欧氏平面几何中，婆罗摩笈多公式是用以计算圆内接四边形的面积的公式，以印度数学家婆罗摩笈多之名命名。一般四边形的面积公式请见布雷特施奈德公式。
基本形式.
婆罗摩笈多公式的最简单易记的形式，是圆内接四边形面积计算。若圆内接四边形的四边长为"a", "b", "c", "d"，则其面积为：
formula_1
其中"s"为半周长：
formula_2
证明.
圆内接四边形的面积 = formula_3的面积 + formula_4的面积
formula_5
但由于formula_6是圆内接四边形，因此formula_7。故formula_8。所以：
formula_9
formula_10
formula_11
formula_12
对formula_3和formula_4利用余弦定理，我们有：
formula_15
代入formula_16（这是由于formula_17和formula_18是互补角），并整理，得：
formula_19
把这个等式代入面积的公式中，得：
formula_20
formula_21
它是formula_22的形式，因此可以写成formula_23的形式：
formula_24
formula_25
formula_26
引入formula_27，
formula_28
两边开平方，得：
formula_29
证毕。
更特殊情况.
若圆O的圆内接四边形的四边长为"a", "b", "c", "d"，且外切于圆C，则其面积为：
formula_30
证明.
由于四边形内接于圆O，所以：
formula_31
其中"p"为半周长：
formula_32
又因为四边形外切圆C，所以：
formula_33
则：
formula_34
同理:
formula_35，
formula_36，
formula_37
综上：
formula_38
证毕。
一般情况.
布雷特施奈德公式.
对一般四边形的面积有布雷特施奈德公式，其叙述如下：
formula_39
其中 formula_40 是四边形一对对角和的一半。
注意到不论取到哪一对对角 formula_41 的值都一样，因为四边形的内角和是 formula_42，故如果选取到的是另一对角，其对角和的一半是 formula_43。而 formula_44，所以有 formula_45。
假设此时四边形恰好四顶点共圆，由于圆内接四边形的对角和为 formula_46，因此 formula_47，而且由 formula_48，可推得此时 formula_49，布雷特施奈德公式恰好退化回婆罗摩笈多公式。
柯立芝公式.
另一个由柯立芝所证明的公式如下：
formula_50
其中 "p" 及 "q" 为四边形对角线之长。在圆内接四边形中，根据托勒密定理我们有formula_51，此公式退化回为婆罗摩笈多公式。
相关定理.
海伦公式给出三角形的面积。它是婆罗摩笈多公式取formula_52的特殊情形。
婆罗摩笈多公式的基本形式和扩充形式，就像由勾股定理扩充至余弦定理一般。
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