法里数列
数学上，"n"阶的法里数列是0和1之间最简分数的数列，由小至大排列，每个分数的分母不大于"n"。每个法里数列从0开始，至1结束，写作0⁄1和1⁄1，但有些人不把这两项包括进去。有时法里数列也称为法里级数，严格来说这名字不正确，因为法里数列的项不会加起来。
例子.
1至8阶的法里数列如下：
"F"1 = {0⁄1, 1⁄1}
"F"2 = {0⁄1, 1⁄2, 1⁄1}
"F"3 = {0⁄1, 1⁄3, 1⁄2, 2⁄3, 1⁄1}
"F"4 = {0⁄1, 1⁄4, 1⁄3, 1⁄2, 2⁄3, 3⁄4, 1⁄1}
"F"5 = {0⁄1, 1⁄5, 1⁄4, 1⁄3, 2⁄5, 1⁄2, 3⁄5, 2⁄3, 3⁄4, 4⁄5, 1⁄1}
"F"6 = {0⁄1, 1⁄6, 1⁄5, 1⁄4, 1⁄3, 2⁄5, 1⁄2, 3⁄5, 2⁄3, 3⁄4, 4⁄5, 5⁄6, 1⁄1}
"F"7 = {0⁄1, 1⁄7, 1⁄6, 1⁄5, 1⁄4, 2⁄7, 1⁄3, 2⁄5, 3⁄7, 1⁄2, 4⁄7, 3⁄5, 2⁄3, 5⁄7, 3⁄4, 4⁄5, 5⁄6, 6⁄7, 1⁄1}
"F"8 = {0⁄1, 1⁄8, 1⁄7, 1⁄6, 1⁄5, 1⁄4, 2⁄7, 1⁄3, 3⁄8, 2⁄5, 3⁄7, 1⁄2, 4⁄7, 3⁄5, 5⁄8, 2⁄3, 5⁄7, 3⁄4, 4⁄5, 5⁄6, 6⁄7, 7⁄8, 1⁄1}
"「法里数列」历史颇为稀奇。" — Hardy & Wright (1979) 第三章
"……又一次，数学关系的名字取自一个人，但记录所载这人不是其发现者。" — Beiler (1964) 第十六章
历史.
法里数列是以英国地质学家老约翰·法里得名，他关于这数列的信刊登在1816年的《哲学杂志》。法里猜测这数列的每一项都是相邻两项的中间分数；不过，以所知道的资料，他没有证明这个性质。法里的信给柯西读了，就给了一个证明在他的《数学习题》，把这结果归到法里上。其实，另一位数学家 C. Haros 曾在1802年发表了相类似的结果，几乎可以肯定法里和柯西都没看过。所以，法里的名字给了这个数列，是历史的一次意外。
性质.
数列长度.
"n"阶的法里数列formula_1包含了较低阶的法里数列的全部项，特别是它包含formula_2的全部项，和与"n"互质的每个数的相应分数。所以formula_3包含了formula_4和分数1⁄6及5⁄6。对大于1的"n"，其法里数列的中间项必定是1⁄2。
从上，formula_1和formula_2的长度的关系，可以用欧拉函数formula_7描述：
formula_8。
从formula_9这项资料，可以推导出formula_1的长度公式：
formula_11。
formula_12的渐近行为是：
formula_13。
数列邻项.
法里数列的相邻分数项有下述性质：
若"a"⁄"b"和"c"⁄"d"是法里数列的邻项，而有"a"⁄"b" < "c"⁄"d"，则它们之差"c"⁄"d" − "a"⁄"b"是1⁄"bd"。由于
formula_14，
上文就等于是说
"bc" − "ad" = 1。
例如1⁄3和2⁄5在formula_4中是邻项，它们之差为1⁄15。
这结果的逆命题也成立。若
"bc" − "ad" = 1，
其中"a","b","c"和"d"为正整数，及有"a" < "b"和"c" < "d"，则"a"⁄"b"和"c"⁄"d"在阶为formula_16的法里数列中是邻项。
若"p"⁄"q"在某法里数列的邻项是"a"⁄"b"和"c"⁄"d"，及
"a"⁄"b" < "p"⁄"q" < "c"⁄"d"，
则"p"⁄"q"是"a"⁄"b"和"c"⁄"d"的中间分数。换句话说，
formula_17。
又若"a"⁄"b"和"c"⁄"d"在某法里数列是邻项，则当法里数列的阶增加，它们间出现的第一项是
formula_18，
而这项第一次出现在"b"+"d"阶的法里数列中。
例如在1⁄3和2⁄5间出现的第一项是3⁄8，在formula_19出现。
Stern-Brocot树是一个资料结构，显出如何从0 (= 0⁄1)和1 (= 1⁄1)开始，以取中间分数来构成法里数列。
法里数列中的邻项分数，它们的连分数表示形式也密切相关。每个分数都有两个连分数表示，一个的尾项为1，另一个则大于1。考虑"p"⁄"q"，它第一次于formula_20出现。以连分数表示为
formula_21，或
formula_22，
则"p"⁄"q"在formula_20中最接近的邻项（这是两邻项中分母较大的）表示为连分数是
formula_24，
而另一邻项则会表示为
formula_25。
例如3⁄8有两个连分数表示：[0;2,1,1,1]和[0;2,1,2]，而它在formula_19中的邻项为2⁄5，可写成[0;2,1,1]；和1⁄3，可写成[0;2,1]。
福特圆.
法里数列和之间有个有趣关连。
对每个最简分数p⁄q，有福特圆C[p⁄q]，以formula_27为半径，以formula_28为圆心。两个不同分数的福特圆一是分开，一是相切，但不会相交。若0 < p⁄q < 1，则与相切的福特圆正好是在某一法里数列中与p⁄q为邻项的分数。
例如C[2⁄5]与C[1⁄2]，C[1⁄3]，C[3⁄7]，C[3⁄8]等相切。
F1--F8的福特圆图像如下：
生成维基百科快照图片，大概需要3-30秒！
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