射影定理

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射影定理

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射影定理（台湾称「母子相似定理」)（），又称欧几里得定理（），是平面几何中的一个定理。这个定理指出，在一个直角三角形中，一条直角边的平方，相等于三角形的斜边乘以该直角边在斜边上的正投影。这个定理出现在欧几里得所著《几何原本》第一卷当中，是第 47 个命题毕氏定理证明过程的一部分。定理内容. 在 Δ"ABC" 中，∠"C" = 90°。设 "CD" 在 "AB" 的上的高，则有： formula_1 formula_2 formula_3 在这里，"AD" 及 "BD" 分别是 "AC" 及 "BC" 在底边 "AB" 的正投影，故定理以此为名。证明. 注意到 Δ"ABC" 与 Δ"ACD" 是相似三角形。因此可得 formula_4 整理可得 formula_1 同理，考虑相似三角形 Δ"ABC" 与 Δ"CBD"，可得 formula_6 整理可得 formula_2 证明完毕。相关定理. 直角三角形面积. 在上面的 Δ"ABC" 中，我们有： formula_8 考虑三角形的面积，即可容易地证明。勾股定理. 勾股定理，是欧几里得所著《几何原本》第一卷当中的第 47 个命题。这个定理指出： formula_9 勾股定理与射影定理有密切关系。事实上，在《几何原本》中，射影定理正是该证明过程的一部分。从射影定理可知： formula_1 formula_2 将两条等式相加，则可得： formula_12 由于 "AD" + "BD" = "AB"，因此可得： formula_9 证明完毕。几何平均定理. ，是在《几何原本》第六卷中的第 8 个命题。这个定理指出： formula_3 也就是说，"CD" 是 "AD" 和 "BD" 的几何平均。与射影定理一样，几何平均定理可从相似三角形得证。一般三角形的情况. 对于 ∠"C" ≠ 90° 的情况，三角形边长的正投影可用余弦求得： formula_15 formula_16 以上结果从余弦的定义直接可得。把上面两式相加，即可得： formula_17 以上公式，又被称为「第一余弦定理」。然而，一般「余弦定理」所指的，是另一条定理（「第二余弦定理」），详见余弦定理。三维空间上的推广. 三直角四面体. 射影定理在三维空间上，也有相应的推广。设 "ABCD" 中，∠"ADB" = ∠"ADC" = ∠"BDC" = 90°。又设 "D" 在斜面 Δ"ABC" 的正投影为 "E"。我们则有： formula_18 formula_19 formula_20 其中 [Δ"ABC"] 表示 Δ"ABC" 的面积。把以上三条等式相加，则可得德古阿定理： formula_21 德古阿定理可以视为毕氏定理在三维空间上的其中一种推广。一般四面体. 在四面体 "ABCD" 中，设 Δ"ABC" 为底面。又设 "D" 在 Δ"ABC" 的正投影为 "E"。我们则有： formula_22 formula_23 formula_24 其中 "α" 、"β" 及 "γ" 分别是 "AD" 、"BD" 及 "CD" 与底面 Δ"ABC" 的夹角。另外亦有： formula_25 formula_26 formula_27 其中 "θ" 、"ϕ" 及 "ψ" 分别是 Δ"ABD" 、Δ"ACD" 及 Δ"BCD" 与底面 Δ"ABC" 的夹角。将上面三条等式相加，可得： formula_28 是上面提到「第一余弦定理」的三维推广。任意图形的投影. 更进一步地说，面积为 "S" 的任意平面图形，在底面的正投影的面积 "S"proj，都可用余弦求得： formula_29 其中 "θ" 是该平面图形与底面的夹角。

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