欧拉线

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欧拉线

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在平面几何中，欧拉线，或称尤拉线（图中的红线）是指过三角形的垂心（蓝）、外心（绿）、重心（黄）和九点圆圆心（红点）的一条直线。莱昂哈德·欧拉，也称尤拉，证明了在任意三角形中，以上四点共线。欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。注意内心一般不在欧拉线上，除了等腰三角形外。证明. 如图formula_1分别是formula_2的垂心，重心，外心。设formula_3为直线formula_4和formula_2外接圆的交点，并连结formula_6。（1） formula_7是直径，formula_8且formula_9。又formula_10是垂心，formula_11且formula_12。 formula_13，formula_14。 formula_15为平行四边形。 ->formula_16 又formula_17分别是formula_18的中点， formula_19， formula_20 （2）作formula_21边上的中线formula_22连结formula_23 设formula_24交formula_25于点formula_26 formula_27， formula_28， formula_29即formula_30的重心formula_31 formula_32的垂心formula_33重心formula_34外心formula_35三点共线formula_36直线formula_37即欧拉线推论. 九点圆的圆心也在欧拉线上，且在垂心到外心的线段的中点如图，H、G、Ω分别是△ABC的垂心、重心、外心，三角形的三边中点I i，三高的垂足Hi，和顶点到垂心的三条线段的中点J i 令HΩ和J1I1的交点为K，∵BΩ=CΩ，BI1=CI1，∴ΩI1⊥BC，又∵AH1⊥BC，∴ΩI1∥AH1。 ∵∠GΩI1=∠AHG，∠GAH=∠GI1Ω，∴△AGH∽△GΩI1。∵AG=2GI1，∴AH=2ΩI1，即ΩI1=J1H。 ∵ΩI1∥AH1， J1H=ΩI1 ∴J1K=KI1, HK = KΩ。同理J2K=KI2， J3K=KI3。可知K为九点圆圆心。 ∵点K在HΩ上，HK = KΩ ∴九点圆圆心在欧拉线上，且在垂心到外心的线段的中点。

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