!style=" text-align: left; background: #DCF0FF; font-size: 90%;"| 连续群 G2 F4 E6 E7 E8 劳仑兹群庞加莱群 !style=" text-align: left; background: #DCF0FF; font-size: 90%;"| 无限维群 环路群 量子群 O(∞) SU(∞) Sp(∞) !style=" text-align: left; background: #DCF0FF; font-size: 90%;"| 代数群 阿贝尔群（Abelian group）也称为交换群（commutative group）或可交换群，它是满足其元素的运算不依赖于它们的次序（交换律公理）的群。阿贝尔群推广了整数集合的加法运算。阿贝尔群以挪威数学家尼尔斯·阿贝尔命名。 阿贝尔群的概念是抽象代数的基本概念之一。其基本研究对象是模和向量空间。阿贝尔群的理论比其他非阿贝尔群简单。有限阿贝尔群已经被较为彻底地研究了。无限阿贝尔群理论则是目前正在研究的领域。 定义. 群 formula_1 对于所有的 formula_2，都满足 formula_3 （交换律）的话，称 formula_1 为阿贝尔群或交换群，反之被称为「非阿贝尔群」或「非交换群」。 符号. 群有两种主要表示运算的符号—加法和乘法。 乘法符号是群的常用符号，而加法符号是模的常用符号。当同时考虑阿贝尔群和非阿贝尔群时，加法符号还可以用来强调阿贝尔群是特定群。 乘法表. 验证有限群是阿贝尔群，可以构造类似乘法表的一种表格（或说矩阵），称为凯莱表。如果群 formula_5 在运算 formula_6 下，则这个表的 formula_7 元素即是 formula_8。群是阿贝尔群若且唯若这个表是关于主对角线是对称的（或说这个矩阵是对称矩阵）。这是因为对于阿贝尔群，formula_9，即表格中的 formula_7 元素等于 formula_11 元素。如下表所示： 例子. 矩阵即使是可逆矩阵，一般不形成在乘法下的阿贝尔群，因为矩阵乘法一般是不可交换的。但是某些矩阵的群是在矩阵乘法下的阿贝尔群 - 一个例子是formula_24 旋转矩阵的群。 历史注记. 阿贝尔群是Camille Jordan以挪威数学家尼尔斯·阿贝尔命名的，他首先察觉到了阿贝尔首先发表的这种群与根式可解性的联系的重要性。 性质. 如果 formula_14 是自然数而 formula_26 是阿贝尔群 formula_27 的一个元素，则 formula_28 可以定义为 formula_29（formula_14个数相加）并且 formula_31。以这种方式，formula_32 变成在整数的环 formula_21 上的模。事实上，在 formula_21 上的模都可以被识别为阿贝尔群。 关于阿贝尔群（比如在主理想整环 formula_21 上的模）的定理经常可以推广到在任意主理想整环上的模。典型的例子是有限生成阿贝尔群的分类是在主理想整环上的有限生成模的结构定理的特殊情况。在有限生成阿贝尔群的情况下，这个定理保证阿贝尔群可以分解为挠群和自由阿贝尔群的直和。前者可以被写为形如 formula_36 对于素数 formula_37 的有限多个群的直和，而后者是有限多个 formula_21 的复本的直和。 如果 formula_39 是在阿贝尔群之间的两个群同态，则它们的和 formula_40，定义为 formula_41，也是阿贝尔同态。（如果 formula_42 是非阿贝尔群则这就不成立。）所有从 formula_32 到 formula_42 的群同态的集合 formula_45 因此是自身方式下的阿贝尔群。 某种程度上类似于向量空间的维度，所有阿贝尔群都有秩。它定义为群的线性无关元素的最大集合的势。整数集和有理数集和所有的有理数集的子群都有秩1。 有限阿贝尔群. 整数模以 formula_14 的循环群 formula_47 是最常见的群的例子。已证实了任意有限阿贝尔群都同构于素数阶的有限循环群的直和，并且这些阶数是唯一确定的，形成了一个不变量（invariant）的完备系统。有限阿贝尔群的自同构群可以依据这些不变量来直接描述。有关理论最初发展自费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯和在1879年的论文，后来被简化和推广到在主理想整环上的有限生成模，形成了线性代数的一个重要组成部分。 分类. 有限阿贝尔群的基本定理声称所有有限阿贝尔群 formula_32 都可以表达为质数幂阶的循环子群的直和。这是有限生成阿贝尔群的基本定理在 formula_32 有零秩时的特殊情况。 formula_50阶的循环群formula_51同构于formula_52与formula_53的直和，当且仅当formula_54与formula_14是互素的。可推出任何有限阿贝尔群 formula_32 同构于如下形式的直和 formula_57 以任何下列规范方式： 例如，formula_63可以被表达为3阶和5阶的两个循环群的直和：formula_64。对于任何15阶的阿贝尔群这也成立，导致了所有15阶阿贝尔群都是同构的显著结论。 另一个例子，所有8阶段阿贝尔群都同构于要么 formula_65(整数0到7在模8加法下)，formula_66（奇数1到15在模16乘法下），要么 formula_67。 小于等于16阶的有限阿贝尔群可参见小群列表。 自同构. 可以应用基本定理去计数（有时确定）给定有限阿贝尔群 formula_32 的自同构。要这么做，可利用如果 formula_32 分解为互素阶的子群的直和 formula_70，则 formula_71 的事实。 基本定理证明了要计算formula_32的自同构群，分别计算西罗 formula_37-子群的自同构群就足够了（也就是所有的循环子群的直和，每个都有 formula_37 的幂的阶）。固定一个素数 formula_37 并假设西罗 formula_37-子群的循环因子的指数 formula_77 是按递增次序安排的： formula_78 对于某个 formula_79。需要找到 formula_80 的自同构。一个特殊情况是在 formula_81 的时候，此时在西罗 formula_37-子群 formula_83 中只有唯一一个循环素数幂因子。在这个情况下可以使用有限循环群的自同构的理论。另一个特殊情况是在 formula_14 为任意的但 formula_85 对于 formula_86 的时候。这里考虑 formula_83 为有著形式 formula_88 所以这个子群的元素可以被看作构成了在 formula_37 元素的有限域 formula_90 上的 formula_14 维向量空间。这个子群的自同构因此给出为可逆线性变换，因此 formula_92 它早先证明了有阶 formula_93 在最一般情况下，这里的formula_77和formula_14是任意的，自同构群更难于确定。但是已经知道了如果定义 formula_96 并且 formula_97 则有著特别的 formula_98，formula_99，并且 formula_100。 可以检查这会生成作为特殊情况的前面例子的阶（参见[Hillar, Rhea]）。