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代数整数

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在数学里，代数整数（algebraic integer）是复数中的一类。一个复数α是代数整数当且仅当它是某个个整系数的首一多项式formula_1的根。其中首一（英文：monic）意谓最高幂次项的系数是1。因此，所有代数整数都是代数数，但并非所有代数数都是代数整数。所有代数整数构成一个环，通常记作formula_2。如果formula_1是整系数本原多项式（即系数的最大公因数是1的多项式），但非首一多项式，则formula_4的根都不是代数整数。定义. 以下是代数整数四种相互等价的定义。设K为代数数域（有理数域formula_5的有限扩张）。根据本原元定理，K可以写成formula_6的形式。其中formula_7是某个代数数。设有formula_8，则α是代数整数当且仅当以下命题之一成立：例子. formula_21 有一个根是有理数：formula_22，其中"p"、"q"是互素的整数，那么必然有：分母"q" 整除formula_23，以及分子"p" 整除formula_24。因此，由于代数整数是某个首一多项式的根，如果它是有理数，那么它的分母整除多项式的最高幂次项，也就是说整除1。所以这个有理数的分母是1，即是说它是整数。反过来，所有的整数"n"都是整系数首一多项式formula_25的根，所以是代数整数。

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