阿马莉·埃米·诺特（，]，1882年3月23日—1935年4月14日），德国数学家，是抽象代数和理论物理学上声名显赫的人物。帕维尔·亚历山德罗夫、阿尔伯特·爱因斯坦、让·迪厄多内、赫尔曼·外尔和诺伯特·维纳等学者都把诺特誉为历史上最杰出的女性数学家。她所开发的数学领域包括环、域; 体和域; 体上的代数；在物理方面，她所证明的诺特定理揭示了对称性和守恒定律之间的紧密关系。 诺特出生于德国弗兰肯地区埃尔朗根镇的一个犹太家庭，父亲是数学家。诺特高分通过法语和英语考核，原先准备做法语和英语老师，但最终选择了到父亲任教的埃朗根-纽伦堡大学学习数学。她在保罗·哥尔丹的指导下，于1907年完成博士论文，然后在埃尔朗根数学研究所无薪工作了七年。女性在当时一般不允许担任教职。1915年，大卫·希尔伯特和费利克斯·克莱因邀请她到世界领先的哥廷根大学数学系任职，但受到了哲学系教授的反对。诺特因此藉希尔伯特的名义教授了四年。1919年，诺特终于获得特许任教资格和讲师的头衔。 诺特在哥廷根大学数学系举足轻重。1924年，荷兰数学家巴特尔·伦德特·范德瓦尔登加入了诺特的研究团队，她的研究成果成为了范德瓦尔登1931年教科书《现代代数》第二卷的基础，影响深远。1932年，诺特在瑞士苏黎世召开的国际数学家大会上致辞，以她在代数上的造诣名扬四海。次年，德国纳粹政府下令禁止犹太人担任大学教职。诺特移居美国，在宾夕法尼亚州布林莫尔学院担任教授。1935年，她因卵巢囊肿接受手术，四天后不治，享年53岁。 诺特的数学研究生涯可分为三个时期。在1908至1919年的第一段时期内，她对代数不变量和域; 体的领域做了重大的贡献。在变分法中的微分不变量方面，她所证明的诺特定理成为了现代物理学发展历程中最重要的数学定理之一。在1920至1926年的第二段时期内，她所开展的工作将彻底改变抽象代数。她在1921年发表《环的理想理论》论文中，将交换环理想理论发展成应用广泛的工具。她巧妙地运用升链条件，所以满足此条件的数学物件都附有诺特的名字，如诺特环等等。在1927至1935年的第三段时期内，诺特在和超复数方面屡有建树，并将群的表示论与模和理想理论整合为一。除了自己发表论文以外，她还深深影响了其他的数学家，在代数拓扑等相去甚远的数学领域也有她的踪迹。 出身与家庭. 埃米的父亲马克斯·诺特出生在一个经营批发生意的德国家庭。他在14岁时因患小儿麻痺症而瘫痪，痊愈之后一条腿终身残疾。他自学成才，1868年受海德堡大学颁发博士学位。在母校任教七年后，他转至位于巴伐利亚埃尔朗根镇的爱尔朗根大学任教，在那里结识了富商的女儿伊达·阿马利娅·考夫曼（Ida Amalia Kaufmann），两人成婚。 马克斯·诺特是一名数学家，在阿尔弗雷德·克莱-{布什研究成果的基础上，主要对代数几何做了不少贡献，有、等等。 马克斯·诺特共有四个子女，埃米·诺特为长女，1882年3月23日在埃尔朗根出生，另有三个儿子。埃米·诺特的全名是阿马莉·埃米·诺特，但她自小便常用中间名埃米。 诺特是一个可爱的小女孩，她在学业上虽然没有鹤立鸡群，但她在人们心目中聪明伶俐。她患有近视，小时有轻微的。诺特的亲友多年后回忆道，诺特在一次小朋友聚会上迅速地解答了一个脑筋急转弯题，可见她自小便具有很强的逻辑思考能力。和当时许多小女孩一样，她学习做饭、做家务，另外还学习弹钢琴。除了爱好跳舞以外，她对这些事都不感兴趣。 埃米·诺特共有三个弟弟。最年长的阿尔弗雷德（Alfred）在1883年出生，1909年在埃尔朗根大学获得化学博士学位，但九年后不幸早逝。二弟（Fritz）在1884年出生，在慕尼黑大学毕业后成为了著名的应用数学家，移居苏联后在史大林当政时的大清洗期间被内务人民委员部处决而死。最年轻的古斯塔夫·罗伯特（Gustav Robert）在1889年出生，终身患病，1928年英年早逝。 大学教育. 诺特从小就会说法语和英语。1900年春，她参加了法语和英语老师水准考试，以「优」（）的最高等级通过了考试。尽管她可以以此在女子学校教做语言老师，但她还是选择了在埃尔朗根大学继续进修。 这在当时是一个出乎寻常的决定。仅仅在两年之前，大学的教务委员会宣告，混合性别教育将颠覆一切学术秩序。大学的986名学生中只有两名女生，诺特就是其中一名。大学只允许她旁听课程，不允许她完全参与，而且她必须得到任教教授的逐一批准以后才能上课。尽管如此，诺特还是在纽伦堡的一所九年制中学（）通过了毕业考试。 1903至1904年冬季学期期间，她到哥廷根大学，参加了天文学家卡尔·史瓦西以及数学家赫尔曼·闵考斯基、、费利克斯·克莱因和大卫·希尔伯特的讲课。不久之后，哥廷根大学取消了针对女学生的种种限制。 诺特回到埃尔朗根，在1904年10月正式开始就读埃尔朗根大学，并以数学为专业。她在保罗·哥尔丹的指导下，于1907年完成了博士论文《论三元双二次型不变量的完整系统》（）。哥尔丹的研究以计算不变量为主，诺特的论文也详细算出了一共三百多个不变量。这种研究不变量的手法，之后被希尔伯特所发明的更抽象、广义的手法所取代。虽然论文在学术界获得了良好的反响，但诺特在之后却把这篇论文和其他类似的论文称为「垃圾」。 教学. 埃尔朗根大学. 博士毕业后，诺特在埃尔朗根大学数学研究所无薪教学了七年，不时会在她父亲生病时为他代课。1910至1911年，她把博士论文中的成果从三元推广至"n"元。 哥尔丹在1910年春退休，但不时还会和接手的埃哈德·施密特一同教书。施密特不久后接受了位于弗罗茨瓦夫的教职，离开了哥廷根。1911年，接手施密特的来到哥廷根，哥尔丹完全退出教学工作。1912年12月，哥尔丹去世。 赫尔曼·外尔认为，诺特通过菲舍尔学到了大卫·希尔伯特的研究，这对她有著深远的影响。1913年至1916年间，她将希尔伯特所发明的方法运用到有理函数域; 体和有限群不变量等数学物件上，发表了多篇论文。诺特就此展开了对抽象代数的研究。 诺特常常和菲舍尔在听完数学演讲后继续讨论良久，还会向他寄明信片，讲述自己在数学问题上的思绪。 哥廷根大学. 1915年春，大卫·希尔伯特和费利克斯·克莱因邀请诺特到哥廷根大学担任教职，但这一举措受到了哲学系中语文学家和历史学家的阻挠。他们认为，女人是不可以当讲师（）的。其中一名教授抗议道：「当我们的军人从战场上回到大学来，发现自己要在一个女人的脚下学习，他们会怎么想？」希尔伯特则回击道：「我并不觉得性别是一个阻止候选人成为讲师的理据。我们毕竟是一所大学，不是个澡堂。」 诺特在4月底回到哥廷根。不到两星期后，她在埃尔朗根的母亲突然去世。同一时间，她父亲退休，弟弟则随德军参加第一次世界大战。她在家乡待了几个星期，主要是为了照顾年长的父亲。 在哥廷根大学教学的头几年，诺特并没有任何正式头衔，也没有薪水。她在研究期间的住宿费和零用钱，都是由她的家庭所提供。她常常会藉希尔伯特的名义开办讲座，自己则是「助手」。 在哥廷根工作不久后，诺特证明了物理系统的每一个连续对称都有其对应的守恒定律，这就是诺特定理。1918年7月26日，克莱因在哥廷根一项会议上向皇家科学学院发表了这项成果。诺特之所以没有自己去发表，是因为她并不是一名院士。物理学家利昂·莱德曼和认为，诺特定理是现代物理学发展历程中最重要的数学定理之一，重要性与毕氏定理不相上下。」 一战结束后，德国十一月革命爆发，社会发生了巨大的变革，其中包括人们对女权的看法。诺特在1919年5月成功通过口试，并于6月做特别演讲，终于获得哥廷根大学授予的特许任教资格。 三年后，诺特收到了来自普鲁士科学、艺术及公共教育部部长奥托·伯里茨（Otto Boelitz）的一封信。伯里茨在信中向诺特授予「非正式特别教授」（）的头衔。这是一种非终身制的教授职位，行政权有限，比「普通教授」（）的公务员职位低一级。尽管诺特的工作得到了认可，但她还是没有拿到薪水。要直到一年后得到「代数讲师」（）的特殊头衔以后，她才正式开始带薪工作。 抽象几何上的研究. 诺特定理固然是经典和量子物理中不可或缺的工具，但在数学界，诺特最伟大的贡献却在于抽象代数领域。纳森·雅各布森在《诺特论文集》的导言中写道： 抽象代数是二十世纪数学最突出的创新领域之一，其发展主要归功于她——她通过发表论文、演讲和启发当代数学家，流芳百世。 她有时候会让同事和学生以他们的名义发表她自己的想法，以自己的名誉换取他们学术上的发展。 诺特在1920年开始研究代数。她和W·施麦德勒（W. Schmeidler）共同发表了一篇有关理想的论文，对环的左右理想做出定义。 翌年，诺特发表《环的理想理论》（），将升链条件应用于理想上。代数学家认为这是一篇「革命性」的论文。满足升链条件的环因此被称为诺特环，类似的其他数学物件也以诺特为名。 1924年，数学家来到哥廷根大学，开始和诺特一起工作，从她学习了不少重要的抽象概念。范德瓦尔登之后回忆道，诺特思想之独特创新「简直无可比拟」。他在1931年出版的《现代代数》（）成为代数领域的标准教科书，其第二卷主要以诺特的研究成果为基础。虽然诺特自己并没有提出要在书中认可她的重大贡献，但范德瓦尔登还是在第七版加上了一项注释：「部分内容基于埃米尔·阿廷和埃米·诺特的演讲」。 在范德瓦尔登抵达哥廷根的同时，世界各地的数学家也都汇集在此，哥廷根高手云集，从而成为了数学和物理学研究的中心。俄罗斯拓扑学家帕维尔·亚历山德罗夫1926至1930年间在哥廷根大学任教，马上和诺特成为了好朋友。他把她称呼为「der Noether」，其中的「der」为德语阳性冠词，特显亲近而又尊敬之意。诺特向哥廷根大学争取给亚历山德罗夫一个教授职位，但最终只为他拿到了来自洛克菲勒基金会的奖学金。他们两人经常讨论代数和拓扑之间的关系。亚历山德罗夫在1935年的悼念信中，把诺特誉为「历史上最伟大的女数学家」。 指导和演讲. 诺特不但有尖锐的数学洞察力，她还对别人处处关照。虽然她有时候会对提出异议的人疾言厉色，但在别人的印象当中仍然是一个诲人不倦的导师。她在数学上之精确严谨，让人觉得她是个总是「严厉批评」的人，不过她在批评的同时，还是保持著一种循循善诱的态度。一位同事曾经描述道： 她不自负，不浮夸，不顾自己的声名，反而把宣扬她的学生的成果当做头等大事。 哥廷根. 诺特在哥廷根指导了十几名博士生。是她的第一名学生，她在1925年2月通过论文答辩。赫尔曼之后把诺特称为她的「论文母亲」。在本科期间就已脱颖而出，最终对算术几何领域贡献良多。汉斯·菲廷以证明菲廷定理和菲廷引理为名，曾炯则以为名。她还和密切合作，克鲁尔以和交换环维度理论著称，对交换代数的发展功不可没。 她省吃俭用，最初是因为大学没有给她任何收入，但她在1923年终于拿到薪水以后，仍然过著朴素的生活。虽然她在晚年得到了更丰厚的收入，但还是把收入的一半遗赠给侄子戈特弗里德·E·诺特（Gottfried E. Noether）。 诺特在仪表上不拘小节。代数学家描述道，她在一场午餐会上指手画脚地讨论数学，一次次把食物打翻，又一次次把食物从裙子上抹去，若无其事。她在讲课时，直接从上杉中取出手帕，她头发蓬乱却浑然不觉。有两名女学生想在课堂小息时提醒她梳理仪容，但她眉飞色舞地探讨数学，完全无法打断。 范德瓦尔登在诺特的讣告中写道，她上课前从不事先写好讲义，而是会把课堂视为和学生们自发讨论数学问题的时间。她一些最重要的成果，都是在这些课堂中发展出来的。范德瓦尔登和多伊林等学生的课堂笔记，也最终成为了一些教科书的基础。 她的同事也会来听她的课。她有时候会把自己的思想让别人来发表，如结合代数的。诺特在哥廷根至少教了五个学期的课程： 这些课程往往促成了相关课题上的大步发展。 诺特语速很快，反映了她思想的敏捷。她严格要求学生专心听课，让一些不喜欢以自发讨论为主的教学风格的学生觉得难以参与。不过，有的学生却特别喜欢诺特在数学上的热情，因为她的课堂内容往往建立在先前和学生的合作成果之上。 她聚集了一组志同道合的同事和学生，想法不同者则拒之门外。在诺特的课堂上，这些「门外汉」往往只待得下半个小时，就茫然离去。有学生回忆道：「敌人终被击垮，他被清除掉了。」 在数学研究和教学上，诺特乐此不疲。有一次，教学大楼在公共假期期间锁上了大门，诺特便在大楼前的阶梯上集合学生，一行人等穿过森林，到一家咖啡屋继续上课。就算在被第三帝国解雇之后，她还会把学生邀请到她家里来，探讨未来的学术研究方向。 莫斯科. 1928至1929年冬，诺特应邀到莫斯科国立大学继续和帕维尔·亚历山德罗夫工作。除了研究以外，她还开办了抽象代数和代数几何的课程。拓扑学家列夫·庞特里亚金和与她一起研究后，大力表扬她在伽罗瓦理论上的贡献。 诺特虽不投身政治，但会关注政治时事。据亚历山德罗夫所述，她对1917年俄国革命十分支持，认为苏联在科学和数学领域的大步发展证明布尔什维克计划造就了不少新的机会。她因这一观点而在德国遇到了诸多困难，有学生对要和「一个有马克思主义倾向的犹太女人」同住提出投诉，最终使诺特被逐出她所住的。 在亚历山德罗夫的支持下，诺特计划回到莫斯科。诺特在1933年离开德国之后，亚历山德罗夫试图向教育人民委员部争取在莫斯科国立大学给她一个职位。虽然没有成功，但两人依然多年维持密集通讯，她也在1935年做了再回莫斯科的安排。同时，她的弟弟弗里茨·诺特也在德国失去了教职，之后移居到俄罗斯托木斯克，在当地的数学与力学研究所继续做研究，但最终不幸在大清洗期间被处决而死。 认可. 1932年，诺特和埃米尔·阿廷因在数学上贡献巨大而共同获得，奖金为500马克。虽然她的工作得到了迟来的认可，但她还是没有被选为格丁根科学院院士，也从来没有拿到「普通教授」的头衔（比她所持的「特别教授」更高一等），这让同事们感到沮丧和不满。 正值诺特五十岁生日，数学家赫尔穆特·哈斯在《》上发表了一篇致诺特的论文，证明了非交换互反律，从而证实了诺特的一项猜想——非交换代数的有一些方面比交换代数更为简单。诺特受到了极大的鼓舞。他还向她提出了一道名为「mμν音节之谜」的数学谜语。她马上就解答了谜语，但这条谜语现已失传。 同年11月，诺特在瑞士苏黎世召开的国际数学家大会全体会议上致辞，标题名为「超复数系统及其与交换代数和数论之间的关系」。共有八百人左右与会，其中包括诺特的同事们：赫尔曼·外尔、爱德蒙·兰道、沃尔夫冈·克鲁尔等等。正式记录参会的有420人，致辞的则有21人。大会邀请诺特致辞，是为了肯定她在数学上的重要贡献。1932年的这场会议，可谓是诺特职业生涯之顶峰。 离开哥廷根. 好景不长，阿道夫·希特勒于1933年1月成为德国总理，纳粹党在全国突发猛进。在曾经是诺特门下学生的的帮助下，哥廷根大学的德国学生协会向校内「反德国精神」势力发起攻势，激烈的反犹情绪对犹太裔教授咄咄逼人。有参与示威的年轻人呼喊道：「雅利安学生们想要的是雅利安数学，而不是犹太数学。」 希特勒政府上任不久，便通过了《》（），将犹太人和政治可疑分子一律踢出公务员的行列，其中也包括大学教授，除非他们在一战期间上过战场，已经「证明自己对德国忠诚」。1933年4月，诺特收到了来自普鲁士科学、艺术及公共教育部的一份通知：「根据1933年4月7日公务员守则第三段，本部正式撤销您在哥廷根大学任教的资格。」诺特的同事，马克斯·玻恩和理查·科朗特等，也遭遇了相同的对待。 诺特得知此讯后泰然自若，反而帮助他人渡过难关。赫尔曼·外尔之后写道：「埃米·诺特的勇敢、直率、对自己命运的坦然以及怀柔的精神，在茫茫一片仇恨、刻薄、无助和悲苦之中，是道德上的一大慰藉。」在这段时间内，诺特仍然在数学上专心致志，用自己的家作为会面的场所，和学生讨论类体论。当一名学生穿著纳粹冲锋队制服进门的时候，她也无动于衷，甚至之后还以此说笑。不过，这是在1938年血腥的水晶之夜发生、约瑟夫·戈培尔对冲锋队大力赞扬之前。 在美国避难. 在纳粹德国的迫害下，一批德国教授开始在外国寻找职位。阿尔伯特·爱因斯坦和赫尔曼·外尔受美国普林斯顿高等研究院聘请，其余的也须要寻找赞助人才能移民。诺特收到了两所学府邀请：美国的布林莫尔学院和英国牛津大学萨默维尔学院。最后，她和洛克菲勒基金会达成协议，拿到了研究经费，并在1933年末开始在布林莫尔学院工作。 诺特在布林莫尔结识了同为哥廷根大学校友的。学院的院长也对诺特十分关照，她邀请数学家都来「看看诺特博士工作时的风采！」诺特带领一小组学生，很快便读遍了范德瓦尔登1930年所著的《现代代数》第一卷和埃里希·赫克所著的《代数数论》（）。 1934年，诺特应亚伯拉罕·弗莱克斯纳和奥斯瓦尔德·维布伦的邀请到普林斯顿高等研究院任教，并在那里与和一起工作。不过，她对普林斯顿大学的评价是：「这是所男人的大学，一切女性的东西都不予允许。」 在美国期间，诺特有同事们的支持，能全心浸润在数学研究之中。1934年夏，她短暂地回到德国探望埃米尔·阿廷，又趁弟弟弗里茨·诺特移居俄罗斯托木斯克之前和他见面。她的许多同事在那时已被大学拒之门外，但她仍然能以「外国学者」的身份进入大学图书馆。 逝世. 1935年4月，诺特确诊在盆骨内患有肿瘤。为避免并发症，她在手术之前须卧床休养两天。手术期间，医生还发现了一个「大小有如一个大哈密瓜」的卵巢囊肿。另外，子宫内另有两个小肿瘤为良性而未摘除，以避免手术时间过长。她手术后三天内正常疗养，第四天发生后亦迅速恢复。4月14日，她陷入昏迷，体温升至，不治身亡。其中一名医生写道：「诺特博士的身体到底发生了甚么，并不好说。有可能是某种不寻常的病毒感染，破坏了控制体温的脑干部位。」 诺特去世后几天，她的友人和同事们为她在布林莫尔学院帕克校长的大宅举办了一场小型追悼会。赫尔曼·外尔和理查德·布饶尔也从普林斯顿远道而来，与惠勒和陶斯基一同缅怀这位同事。在接下来的几个月内，世界各地的学者都纷纷发表纪念诺特的文章，有爱因斯坦、范德瓦尔登、外尔和亚历山德罗夫等等。遗体火化后，诺特的骨灰被撒在布林莫尔学院老图书馆的庭院回廊底下。 数学和物理学上的贡献. 诺特在抽象代数和拓扑学上功不可没，诺特定理则是理论物理学和动态系统中不可或缺的概念。她擅长抽象思维，往往能以新颖的角度思考数学问题。好友和同事赫尔曼·外尔将她的学术生涯总结为三个时期。 埃米·诺特的科学功绩可清晰分为三个时期： (1) 从师研究时期，1907至1919年 (2) 和理想理论有关的研究，1920至1926年 (3) 非交换代数、这些代数的线性变换表示以及在交换数域及其算术上的应用 在第一时期内（1907至1919年），诺特在保罗·哥尔丹的指导下，开始研究微分和代数不变量。她在大卫·希尔伯特和的影响下，研究课题愈来愈广，也愈来愈抽象。1915年到哥廷根之后，她证明了两项对物理学意义重大的定理，合称诺特定理。在第二时期内（1920至1926年），她致力于发展环论。在第三时期内（1927至1935），她的研究主要在非交换代数、线性变换和交换数域。外尔和范德瓦尔登在诺特的讣告中写道，她在第一时期的成果固然丰盛，但真正使她名留青史的，是后两个时期。 诺特在研究时不但巧用前人所发明的方法，还自己创造出全新的数学概念和理论系统。她在理查德·戴德金打下的基础上，发展出环的理想理论。她所发明的升链条件是一个简单但极其有用的理论工具。诺特利用理想理论和升链条件，将过去的数学成果大大推广，又从新的角度看待老的数学问题，例如她父亲曾研究过的和代数簇等课题。 历史背景. 代数学在1832至1935年一百多年间经历了翻天覆地的变化。在此之前，数学家会为不同的代数问题发展出相应的实用求解方法，如三次、四次和五次方程式，还有用尺规作图画出正多边形的问题。卡尔·弗里德里希·高斯在1832年证明包括5在内的一些质数可以分解为高斯整数，埃瓦里斯特·伽罗瓦在同年提出置换群的概念（但论文要在他死后的1846年才由约瑟夫·莱欧维尔发表），威廉·哈密顿在1843年发现四元数，阿瑟·凯莱在1854年写下群的现代定义，数学研究的对象逐渐转移至更抽象、更广义的系统。这一领域称为抽象代数，是诺特成果最丰盛的领域。 抽象代数及概念数学的概述. 群和环是抽象代数中最基本的两个概念。 群由一个含若干元素的集合和一个运算所组成。运算结合集合中的两个元素，给出集合中又一个元素，且必须符合以下规则：闭合性，即取集合中的任意两个元素，运算所得的元素也必须属于同一个集合；结合律；必须有一个单位元，即任何其他元素和这个元素结合后，运算所得结果还是原来的元素不变；最后，每一个元素必须有对应的反元素。举例来说，以整数为集合，加法为运算（两个整数相加之后，得出的还是一个整数），0就是单位元（任何整数和0相加后，会维持不变），每个正数都有对应的负数为其反元素，这就是加法群。 环也由一个集合组成，但有两个运算。第一个运算必须符合以上群运算的规则，另加交换律，即运算不在乎所取的两个元素之先后次序。第二个运算则必须遵守闭合性、结合律和相对于第一个运算的分配律，但不要求符合交换律。第一个运算往往被广义地称为「加法」，第二个运算则被称为「乘法」，加法的单位元被称为「零」。如果环的每一个非零元素都有乘法逆（即每个元素"a"都有一个对应的元素"x"，使得"a x" "x a" 1），则称之为除环。如果除环的乘法符合交换律，则（有的数学家）称之为域; 体。拿以上的整数加法群为例，如果再加上普通的乘法，就形成。大部分整数的乘法逆（倒数）并不是整数，所以整数环不是一个除环，从而也不是一个域; 体（尽管整数的乘法符合交换律）。乘法不符合交换律的环有：矩阵环和四元数等等。 群表示论是研究群的性质的常用方法。笼统地说，对于一个给定的群，先选择一个集合，然后指定群的元素如何作用于这个集合。换言之，群的每个元素都被视为一个函数，对于集合中的每个元素都会给出集合中的又一个元素。最常选用的集合是向量空间，群的元素就代表向量空间的对称。以旋转群为例，顾名思义，其元素作用在向量空间上时，会使空间做刚体旋转。尽管空间之中的物体在旋转下会改变位置，但空间本身却不会因旋转而改变，因此刚体旋转是空间对称的一种。诺特所研究的、应用于物理学上的不变量，就运用到这种对称的概念。 模是研究环的性质的常用方法。模是由一个环和一个符合交换律的群（又称阿贝尔群，一般不同于所选的环）所组成，另须指定环的元素如何作用于群，即环的每个元素都被视为一个函数，对于群中的每个元素都会给出群的又一个元素。模其实是群表示论的推广：群由环取代，向量空间（或其他集合）则由阿贝尔群所取代。模的用武之处在于，它能够揭示环的一些性质，而这些性质单从研究这个环本身并不能轻易看得出来。特别须要提到的是由两个环所组成的模（即模的阿贝尔群也满足环的定义），第二个环可被视为「第一个环上的模」。如果第一个环是一个域; 体，则所形成的模被称为域; 体上的代数。（此处「代数」一词二用，既指大的数学范畴，又指这个范畴以内、定义如上的数学物件。） 「元素」、「运算」等都是非常普遍的概念，无论是在现实世界还是抽象问题里，都应用广泛。任何事物的集合，只要有满足上述条件的一个（两个）运算，它就是一个群（环），因此也马上遵守所有有关群（环）的定理。除了上文所述的整数（连同加法和乘法）以外，环的元素还可以是电脑意义上、由0和1所组成的字，第一个运算是异或，第二个运算是与。抽象代数里的定理之所以强大，正是因为它的表述极其普遍，可以描述许多表面上似乎截然不同的系统。大部分数学家会以已知的例子为基础做推广，但诺特却直接从抽象概念开始。她的学生范德瓦尔登在她的讣告中回忆道： 埃米·诺特工作中贯彻始终的指导理念可以这样表达：「数字、函数与运算之间的任何关系，只有在脱离具体对象，表述为普遍有效的概念之后，才会变得明了、普遍通用、彰显最大用途。」 这就是所谓的「概念数学」，是诺特独特的思想风格。不少数学家也采纳了这种思考方式，特别是在抽象代数范畴的研究。 上文提到的整数环还有一些其他交换环不具备的性质。最重要的莫过于算术基本定理，即每个正整数都有唯一的质数分解。相反，其他环不一定有唯一的质数分解。诺特找到了具有唯一准素分解的一类环，今天称为拉斯克-诺特定理。诺特研究的主要思路，是辨别哪些性质为所有环所通有，或是找出环要具有某些特定性质所需的最低条件。 第一时期（1908至1919年）. 代数不变量理论. 诺特学术生涯的第一时期主要与不变量理论有关，特别是代数不变量理论。不变量理论的目的是寻找在群的作用下不变的表达式。例如，一根棒子在旋转时，其两个端点的座标("x"1, "y"1, "z"1)和("x"2, "y"2, "z"2)会改变，但其长度"L"2 Δ"x"2 + Δ"y"2 + Δ"z"2则会维持不变。不变量理论以费利克斯·克莱因的埃尔朗根纲领为始，是十九世纪下半叶活跃的研究领域。埃尔朗根纲领的目的，是利用变换下的不变量来为不同的几何对象进行分类，如射影几何中的交比。 不变量的另一个例子，是二元二次型x·A" x + y·B" x + y·"C" y的判别式"B"2 − 4 "A C"，其中x和y是向量，「·」是向量之间的点乘。"A", "B", "C"均为作用在向量上的线性算符，一般是矩阵。 在行列式满足"a" "d" − "b" "c" 1的线性代换x → "a" x + "b" y, y → "c" x + "d" y下，判别式维持不变，所以判别式是一个不变量。这样的线性代换组成SL2。 共有哪一些"A", "B", "C"的多项式在SL2作用下不变？这些多项式统称为二元二次型的不变量。数学家发现，这些不变量都可以写作判别式的多项式。 进一步推广，可以问二元"r"次齐次多项式"A"0 "x""r" "y"0 + ... + "A""r" x0 "y""r"共有哪些不变量，这些不变量都会是系数"A"0, ..., "A""r"的多项式。再进一步推广，还可以问多元齐次多项式有哪些不变量。 不变量理论的主要目的是解答所谓的「有限基问题」：两个不变量之和、之积也是不变量，很自然地可以问，有没有可能从有限的若干个不变量，相加、相乘后得出所有的不变量？这有限的若干个不变量被称为不变量的。例如，上述的二元二次型不变量都可以从判别式生成得出，所以二元二次型不变量具备有限基，其所含生成元只有一个，那就是判别式。 诺特的博士生导师保罗·哥尔丹曾被誉为「不变量理论之王」，他在1870年解决了二元二次多项式不变量的有限基问题。他将所有不变量及其生成子逐一构造出来，但对三元及以上多项式却束手无策。大卫·希尔伯特在1890年解决了多元齐次多项式的不变量有限基问题。他的方法不但可以用在特殊线性群上，而且还适用于它的一些子群，如特殊正交群。 伽罗瓦理论. 伽罗瓦理论的研究对象，是作用在数域上、置换某条方程式的根的变换。考虑一条一元"n"次多项式，其系数和"x"的值均取自某个域; 体（称为基域），如实数、有理数、以7为模的整数等等。如果有数值在代入"x"时会使多项式求值为零，则这个数值被称为多项式的根。举例来说，以实数为基域的多项式"x"2 + 1并没有任何根，因为任何实数"x"都会使多项式的值大于或等于一。不过，将基域扩张至更大的数域，多项式就可能会有根。如果扩张域足够大，多项式就必定会有根，而且根的数目和多项式的次数相等，这个扩张域就被称作此多项式的分裂域。若以上多项式的域; 体从实数扩张至复数，则存在两个根：+"i"和−"i"，其中"i"是虚数单位，定义为"i" 2 −1 。 考虑一个多项式及其分裂域。作用于分裂域上并保持基域和多项式的根的所有变换（在数学中称为自同构），被称为该多项式的伽罗瓦群。多项式"x"2 + 1的伽罗瓦群共含两个元素：恒等变换使每个复数维持不变，共轭变换则将+"i"替换为−"i"。由于伽罗瓦群并不改变基域的元素，所以多项式的系数均维持不变，从而根所组成的集也维持不变。不过，集当中的每个根有可能会被转换至另一个根，因此伽罗瓦群中的每一个转换都定义了作用于根集上的一个置换。伽罗瓦群的重要性来自于伽罗瓦理论基本定理：位于基域和分裂域之间的域; 体，与伽罗瓦群的子群有著一对一的关系。 1918年，诺特发表了一篇有关的论文。伽罗瓦理论所提出的问题是，给定基域及其扩张域，找出其伽罗瓦群；诺特所提出的问题则相反：给定基域和一个群，是否有可能找出一个扩张域，使这个群成为它的伽罗瓦群？她把这道问题简化为所谓的诺特问题：设"k"是一个域; 体，"x"1, ... , "x""n"是"k"以外的元素，"k"("x"1, ... , "x""n")是"k"上由"x"1, ... , "x""n"生成的域扩张，使"n"次对称群"S""n"作用于"k"("x"1, ... , "x""n")，"G"是"S""n"的子群；问，由"G"固定的元素所组成的域; 体是否必定是"k"的纯超越域扩张？她证明，这一叙述在"n" 2, 3, 4时成立。1969年，找到了诺特问题的反例，其中"n" 47，"G"则是47阶循环群。数学家至今还没有对反伽罗瓦问题作出完整的解答。 物理学. 大卫·希尔伯特和费利克斯·克莱因在1915年邀请诺特到哥廷根大学，以她在不变量理论上的专长协助他们理解广义相对论。广义相对论由阿尔伯特·爱因斯坦发明，是一个将时空视为几何对象的万有引力理论。希尔伯特发现，由于质能等价，引力能本身也会像质量一样产生引力，因此能量守恒定律在广义相对论中并不成立。诺特在解答这个问题的过程中，证明了诺特第一定理，今天成为理论物理学中必不可少的工具。她在1915年证明这条定理，但要等到1918年才发表。她不但解决了广义相对论里的守恒定律问题，而且还证明，任何动态系统只要具备某种连续对称，就必定有一个对应的守恒量。爱因斯坦在得知她的定理之后，向希尔伯特写道： 昨天我收到了诺特小姐一篇有关不变量的非常有趣的论文。这种问题原来可以有如此普遍的表述，我觉得非常厉害。哥廷根那些故步自封的人要向诺特小姐学习学习呀！她很在行啊。 举例来说，若一个物理系统有旋转对称，即无论系统面向何方，其性质仍然一样，则根据诺特定理，这个系统一定遵守角动量守恒定律。物理系统本身并不须要对称，例如，太空中的一颗小行星尽管形状不规则，但它的角动量依然是守恒的。此处所指的，是描述该系统的「物理定律」上的对称。再举一例，如果无论在甚么地方、甚么时间进行实验，实验的结果都相同，亦即物理定律具有空间和时间上的平移对称，那就意味著这个系统的动量和能量守恒。 诺特定理是现代理论物理学中最重要的工具之一，它除了解释了对称和守恒定律之间的密切关系，同时也是一个实用的计算工具。科学家可以用它作为物理理论的筛选条件。假如科学家发现了一种全新的物理现象，且有某个可能予以解释的理论，该理论所具有的每一个连续对称都一定有相应的守恒量，将来的实验也必须与这些守恒定律相符，否则理论就必定是错误的。 第二时期（1920至1926年）. 升链与降链条件. 诺特在这段时期以灵巧运用升链（）和降链条件（）而著称。一个由某个集"S"的非空子集所组成的序列"A"1, "A"2, "A"3, ...被称为「升链」，当每个集是下一个集的子集： formula_1 相反，序列被称为「降链」，当每个集是前一个集的子集： formula_2 一个序列「在有限步后不变」，当存在"n"使得对于所有"m" ≥ "n"，有"A""n" "A""m"。若序列是升链（降链），且在有限步后不变，则序列满足升链条件（降链条件）。 升链和降链条件是非常普遍的概念，适用于林林总总的数学物件，往往用于证明过程中的关键步骤。可用这些条件解答的问题包括：某个群（或其他数学物件）的子群（或子对象）之集是否必定有一个最大或最小元素？某个复杂的数学物件是否可以从少量的一组元素生成出来？ 抽象代数中满足升链条件的对象都会冠以「诺特」之名。诺特环是每条左（以及右）理想升链都满足升链条件的环，诺特群是每条子群升链都满足升链条件的群，诺特模是每条子模升链都满足升链条件的模，是每条开子集升链都满足升链条件的拓扑空间，如此类推。最后一项定义意味著环的谱是一个诺特拓扑空间。 若某个对象满足升链（降链）条件，则其子对象同样也满足升链（降链）条件。例如，诺特拓扑空间的所有子空间也是诺特拓扑空间，诺特群的所有子群和商群也是诺特群，诺特模的子模和也是诺特模。诺特环的所有商环也是诺特环，但其子环却不一定是诺特环。诺特对象之间的某些组合和扩张也会是诺特对象。例如，诺特环之间的有限直和也是诺特环，诺特环上的形式幂级数也是诺特环。 升链条件还可以应用于诺特归纳法（又称良基归纳法），这种方法是数学归纳法的推广。诺特归纳法可以将描述一组元素的普遍陈述转变成描述单个元素的陈述。具体地说，设"S"是偏序集合，并假设"S"的每个非空子集都有。要证明某句有关"S"的陈述，可以用反证法证明陈述的反例不可能存在。根据假设，包含这句陈述的所有反例的集也一定有极小元素。只要能证明「对于每个反例，都有一个更小的反例元素」这句更为简单的陈述，就能得出矛盾，因为不可能再有比极小反例元素更小的反例。从而，原先有关整个集"S"的陈述必须成立。 交换环、理想与模. 诺特在1921年发表《环的理想理论》，（）首次写下了交换环的定义，为交换环论打下了基础。此前，在交换代数上的研究主要针对个别的交换环，如域; 体上的多项式环和代数整数环等。诺特证明，若环的理想满足升链条件，则它的每个理想都是有限生成的。法国数学家克劳德·谢瓦莱于1943年提出「诺特环」这个名词，特指具备这种特性的环。她在这篇论文中将拉斯克先前所证明有关多项式环理想的准素分解定理推广至所有诺特环，今天称之为拉斯克-诺特定理。这一定理可以视为算术基本定理的推广，后者说明，每个正整数都可以写作质数之积，而且这种质数分解是唯一的。 诺特在1927年发表《代数数域及函数域; 体理想理论的抽象结构》（），证明环的理想都有唯一的质理想分解，当且仅当这个环是戴德金整环，亦即零或一维、整闭合的诺特整环。论文还描述了基本自然同构，并证明了一些有关诺特模和阿廷模的定理，今天统称为同构基本定理。 消除论. 1923至1924年间，诺特将她所发明的理想理论应用到上，她把所用到的消除论表述方法归功于她的学生库尔特·亨策尔特（Kurt Hentzelt）。诺特证明，有关多项式因式分解的基本理论，都可以直接搬移到消除论上。传统消除论所研究的，是如何消除多项式方程组中的一个或多个变量，通常会利用结式。 具体地说，假如方程组可写成"M" v 0，其中"M"是一个不含"x"的矩阵，v是只含"x"的非零幂的向量，0则是零向量。这意味著，"M"的行列式为零，det("M") 0。这是一条新的方程式，且原先的变量"x"已被消除。 有限群的不变量理论. 希尔伯特最早用于解决有限基问题的非建构性方法，并不能用于计算群作用的不变量，也不能适用于所有的群作用。诺特在1915年发表论文，解答了作用在零特征域; 体上的有限维向量空间的有限群"G"的有限基问题。她发现，不变量环是由次数小于或等于"G"的阶的齐次不变量所生成，这被称为「诺特界」。论文一共给出了诺特界的两个证明，两者在域; 体的特征和" class="serif">"G"（"G"的阶的阶乘）互质时仍然适用。若域; 体的特征整除" class="serif">"G"，则生成元的阶不须要满足诺特界。然而诺特未能证明，域; 体的特征整除" class="serif">"G"但不整除" class="serif">"G"时，生成元的阶须不须要满足诺特界。这道命题的真伪多年未解，称为「诺特间隙」。彼得·弗莱施曼（Peter Fleischmann）和约翰·福格蒂（John Fogarty）各自分别在2000年和2001年证明，诺特界在上述情况下依然成立。 1926年，诺特将希尔伯特基定理推广至任何域; 体上的有限群表示，解决了域; 体的特征整除群的阶这一情形。在同一篇论文中，诺特还证明了诺特正规化引理。引理说明，域; 体"k"上的有限生成整环"A"都有一个代数独立集{"x"1, ... , "x""n"}，使得"A"在"k"["x"1, ... , "x""n"]上具备整性。 拓扑学. 帕维尔·亚历山德罗夫和赫尔曼·外尔在诺特的讣告中写道，诺特在拓扑学的贡献充分体现，她慷慨大方地分享自己的学术思想，从而完全改造了一些数学领域。拓扑学所研究的是物体在形变以后保持不变的一些特性，例如连通性和亏格等，而不在乎物体的具体凹凸几何。如右图动画所示，杯子和甜甜圈各有一个「洞」，可以互相来回连续形变，因此对于一个拓扑学家来说，两者是完全相同的对象。 数学界从转向代数拓扑学，诺特功不可没。她所提出的同调群在这段发展历史中尤其重要。据亚历山德罗夫所述，诺特在1926年夏和1927年夏参加了海因茨·霍普夫和他自己的讲课，期间「她不断提出深层而微妙的见解」。他又说： 在接触到组合拓扑学的系统性建构后，她马上注意到，应直接研究由代数复形或某个多面体的圈所组成的群，以及圈群中由与零同调的元素所组成的子群。她不用贝蒂数的普通定义，而是马上提出以圈群和与零同调的圈之群的商群来定义贝蒂数。这一见解在今天是不言而喻的，但在当年（1925至1928年）却是焕然一新的观点。 诺特所提出通过代数方法来研究拓扑学的建议，很快便受霍普夫和亚历山德罗夫等数学家采纳，并成为哥廷根数学界的热门话题。诺特观察到，贝蒂数的新定义使得欧拉-庞加莱公式更容易理解。霍普夫自己在这方面的研究成果也带著诺特的印记。在1926年的一篇论文当中，诺特写到群论的实际应用，只是草草带过这一使拓扑学改头换面的见解。 第三时期（1927至1935年）. 超复数与表示论. 超复数和表示论在十九世纪至二十世纪初一直是两个互不相干的领域。诺特将两者合二为一，构建了广义的群和代数表示论。 简单地说，诺特将结合代数理论与群表示论归纳到模论和诺特环理想理论之中，使现代代数学发生了巨大的跃进。 非交换代数. 诺特与埃米尔·阿廷、理查德·布饶尔和赫尔穆特·哈斯一同建立了理论。 诺特、哈塞和布饶尔在一篇合著论文中证明了两条有关的重要定理。局部全局定理说明，若数域上的有限维中心可除代数处处局部分裂，则它全局分裂（即平凡）。从这条定理可推出所谓的「主定理」： 代数数域"F"上的有限维中心可除代数都会在上分裂。 这两条定理让数学家可以对所有给定数域上的有限维可除代数进行完全分类。诺特之后又发表了一篇论文，说明作为一条更广义的定理的特例，可除代数的极大子域都是分裂域。论文还证明了：从某个域; 体"k"的扩张，到"k"上的有限维中心单代数的任何两个嵌入，互相有共轭关系。1927年发表的描述了域; 体上的中心可除代数的分裂域。 名誉. 诺特是二十世纪最伟大的数学家之一，她的研究成果至今仍引导著数学和理论物理学的发展。代数学家巴特尔·伦德特·范德瓦尔登在诺特讣告写道，其数学独创性「简直无可比拟」。数学物理学先驱赫尔曼·外尔认为，「她的研究彻底改变了抽象代数领域面目」。无论在生前还是今天，诺特都往往被誉为历史上最伟大的女数学家。 阿尔伯特·爱因斯坦在1935年向《纽约时报》致信道： 若要评议当今世上最杰出的数学家，诺特小姐无异是自女性高等教育开始以来最非凡的数学创造天才。最有天赋的数学家已在代数领域埋头苦干了数百年，她在这方面所发现的各种方法对今天年青一代数学家有著巨大的意义。 诺伯特·维纳在诺特去世后数月写道： 诺特小姐是历史上最伟大女数学家，也是当今世上最伟大的女科学家，其学术层次相对玛莉·居礼有过之而无不及。 在1964年世界博览会上有关现代数学家的展览里，诺特是唯一一名受到表彰的女数学家。 为纪念诺特而以她为名的事物包括： 参见.