交换子

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交换子

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在抽象代数中，一个群的交换子（commutator）或换位子是一个二元运算子。设"g"及"h" 是群"G"中的元素，他们的交换子是"g" −1 "h" −1 "gh"，常记为[ "g", "h" ]。只有当"g"和"h"符合交换律（即gh = hg）时他们的交换子才是这个群的单位元。一个群"G"的全部交换子生成的子群叫做群"G"的导群，记作"D(G)"。群论. 群G中两个元素g和h的交换子为元素 ["g", "h"] "g"−1"h"−1"gh" 它等于群的幺元当且仅当g和h可交换（即"gh" "hg"）。环论. 环或结合代数上两个元素"a"和"b"的交换子定义为： formula_1 量子力学. 量子力学中，经常用到对易关系（commutation relation），即 formula_2；其中；formula_3、formula_4均为量子力学的算符，formula_5是其对易算符，也称交换子。如果上式等于零，则称formula_3、formula_4是对易的，即意味着formula_3和formula_4两个算符的运算顺序可以调换。反之则称非对易的，运算顺序不可以调换。量子力学中，交换子有以下特性: formula_10 formula_11 formula_12 formula_13 formula_14 formula_15 量子力学中的各个力学量之间，常用的对易关系有：以下，formula_16是位置算符、formula_17是动量算符、formula_18是角动量算符（包括轨道角动量、自旋角动量等），而formula_19是克罗内克δ、formula_20是列维-奇维塔符号。其中i、j、k均可以指代x、y、z三个方向中的任意一个。正则对易关系. 物理学中，正则对易关系是正则共轭的量之间的关系，这样的量从定义可以发现：一个量是其共轭量的傅立叶变换的结果。举例来说： formula_21 上面的"x"与"p"分别为一维空间中的一点粒子的位置与动量，而formula_22为所谓formula_23与formula_24的交换算符，formula_25是虚数单位，formula_26为约化普朗克常数，等于formula_27。此一关系常归功于马克斯·玻恩，并且此式子暗示了以海森堡为名的不确定性原理。与古典力学的关系. 相对于量子力学，古典物理中所有可观测量都可对易（交换），而交换算符会是零；然而仍然有类似的关系存在：需将交换子换成泊松括号，且常数formula_28换成formula_29： formula_30 这样的观察导致了保罗·狄拉克提出假设：一般来说，古典的观测量formula_31其量子对应项formula_32应满足 formula_33。于1927年，赫尔曼·外尔（Hermann Weyl）指出了量子算符与相空间中古典分布之间的对应关系并不成立。不过他倒是提出了一个机制，称作魏尔量子化（Weyl quantization），为了一种称作形变量子化（deformation quantization）的量子化方法提供了数学途径。

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