二次型

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二次型

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在数学中，二次型（Quadratic form）是关于一些变量的二次齐次多项式。例如 formula_1 是关于变量x和y的二次型。其系数通常属于一个确定的域，K，例如实数或者复数。人们通常称之为：“在K上的二次型。”在 formula_2时，且仅当所有的变量都为零时该二次型才为零时，则称该二次型为确定双线性形式，否则称之为迷向二次型。二次型在许多数学分支，包括在数论、线性代数、群论（正交群）、微分几何(黎曼测度)、微分拓扑(intersection forms of four-manifolds)和李代数(基灵型)中，占有核心地位。请勿将二次型与二次方程混淆。二次型是更广义的齐次多项式的特例。历史. 18世纪，开始对二次型进行系统性研究，其起源于讨论二次曲线与二次曲面的分类问题。1748年，瑞士数学家欧拉讨论了三元二次型的化简问题。1801年，正定二次型等的相关概念被高斯引进了他的「算术研究」。1826年，数学家柯西开始研究化三元二次型为标准形的问题。1852年,西尔维斯特提出了惯性定律。1857年，该定律被雅可比证明。1858年，德国数学家维尔斯特拉斯对同时化两个二次型成平方和给出一般方法，他同时证明了“如果二次型之一是正定的，即使某些特征根相等”。介绍. 二次型是"n"个变量上的二次齐次多项式。下面给出一个、两个、和三个变量的二次形式： formula_3 formula_4 formula_5 其中"a", ..., "f"是系数。注意一般的二次函数和二次方程不是二次形式的例子，因为它们不总是齐次的。任何非零的n维二次型在一个 (n-1) 维的投影空间中定义了一个 (n-2) 维的二次曲面。在这种方式下可把3维二次型可视化为圆锥曲线。术语二次型也经常用来描述二次空间，它是有序对（"V","q"），这里的"V"是在域"k"上的向量空间，而"q":"V" → "k"是在"V"上的二次形式。例如，在三维欧几里得空间中两个点之间的距离可以采用涉及六个变量的二次形式的平方根来找到，它们是这两个点的各自的三个坐标。 formula_6 定义. 设"V"是在交换环"R"上的模；"R"经常是域比如实数，在这种情况下"V"是向量空间。映射"Q" : "V" → "R"被称为在"V"上的二次形式，如果这里的"B"被称为相伴双线性形式；它是对称双线性形式。尽管这是非常一般性的定义，经常假定这个环"R"是一个域，它的特征不是2。 "V"的两个元素"u"和"v"被称为正交的，如果"B"("u", "v")=0。双线性形式"B"的核由正交于"V"的所有元素组成，而二次形式"Q"的核由"B"的核中的有"Q"("u")=0的所有元素"u"组成。如果2是可逆的，则"Q"和它的相伴双线性形式"B"有同样的核。双线性形式"B"被称为非奇异的，如果它的核是0；二次形式"Q"被称为非奇异的，如果它的核是0。非奇异二次形式"Q"的正交群是保持二次形式"Q"的"V"的自同构的群。二次形式"Q"被称为迷向的，如果有"V"中的非零的"v"使得formula_9。否则它称为非迷向的。二次空间的一个向量或子空间也可以被称为迷向的。如果formula_10则formula_11被称为完全奇异的。性质. 二次形式的一些其他性质： formula_12 formula_13 对称双线性形式. 在低层的域的特征不是2的时候，二次形式等价于对称双线性形式。二次形式总是生成对称双线性形式（通过极化恒等式），而反过来要求除以2。注意对于任何向量"u" ∈ "V" 2"Q"("u") = "B"("u","u") 所以如果2在"R"中是可逆的（在"R"是一个域的时候这同于有不是2的特征），则我们可以从对称双线性形式"B"恢复二次形式，通过 "Q"("u") = "B"("u","u")/2. 当2是可逆的时候，这给出在"V"上的二次形式和"V"上的双线性形式之间的一一映射。如果"B"是任何对称双线性形式，则"B"("u","u")总是二次形式。所以在2是可逆的时候，这可以用作二次形式的定义。但是如果2不是可逆的，对称双线性形式和二次形式是不同的：某些二次形式不能写为形式"B"（"u","u"）。我们在二维情况下描述这种等价。任何2维二次形式可以被写为 formula_14. 这个向量空间的任何向量可以表示为formula_15。二次形式"F"可以表达为矩阵，假设"M"是2×2矩阵： formula_16 接着矩阵乘法给我们下列等式： formula_17 这里的有上标的formula_18指示转置矩阵。主要我们已经用了特征不是2，因为我们除以2来定义"M"。所以我们看到了在2维二次形式"F"和对应于对称双线性形式的2×2 对称矩阵"M"之间的对应。这个观察迅速推广到"n"个变量和"n"×"n"矩阵的形式中。例如，在实数值二次形式中，实数的特征是0，所以实数二次形式和实数对称双线性形式是来自不同观点的同样的东西。如果"V"是"n"维的，我们写双线性形式"B"为相对于"V"的某个基{"e""i"}的对称矩阵B。B的分量给出自formula_19。如果2是可逆的，二次形式"Q"给出自 formula_20 这里formula_21是在这个基下的formula_22的分量。实二次形式. 假定formula_11是定义在实数向量空间上的二次形式。设formula_33是如上那样关联于formula_11的实数对称矩阵，所以对于任何列向量formula_29， formula_36 成立。接着，formula_11是正（半）定的，负（半）定的，不定的，当且仅当矩阵formula_33有同样的性质（参见正定矩阵）。最终，这些性质可以用formula_33的特征值来刻画。参考文献.

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