施瓦茨-克里斯托费尔映射

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施瓦茨-克里斯托费尔映射

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在数学的复分析中，施瓦茨—克里斯托费尔（Schwarz-Christoffel）映射是复平面的变换，把上半平面共形地映射到一个多边形。施瓦茨—克里斯托费尔映射可用在位势论和其它应用，包括极小曲面和流体力学中。施—克映射有一个缺陷，它无法较好的处理不规则几何图形和有孔的情况，这个问题已被伦敦皇家学院应用数学教授Darren Crowdy解决。施—克映射的名字取自埃尔温·布鲁诺·克里斯托费尔和赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨。定义. 考虑复平面上一个多边形。黎曼映射定理指出存在一个一一对应解析映射"f"从上半平面 formula_1 到多边形的内部。函数"f"把实数轴映射到多边形的边。若多边形内角为formula_2，那么映射由下式给出： formula_3，其中formula_4是常数，formula_5是formula_6平面的实轴上的点的值，对应formula_7平面上的多边形的顶点。这形式的变换称为施瓦茨—克里斯托费尔映射。为了简便，通常会考虑一种特殊情况，就是当formula_6平面的无穷远点映射到formula_7平面的多边形其中一顶点（习惯是内角为formula_10的顶点）。如此，公式的第一个因式实际上是个常数，可以合并进formula_4里。例子. 考虑formula_7平面中的半无穷带。这可以视作顶点是formula_13, formula_14和formula_15的三角形，当formula_15趋向无穷大的极限情形。极限时有formula_17和formula_18。假设我们要找映射"f"，有"f"(−1) = "Q"，"f"(1) = "P"，和"f"(∞) = "R"，那么"f"是 formula_19。计算积分得到 formula_20 其中formula_21是个（复）积分常数。条件formula_22和formula_23给出formula_24和formula_25。因此施瓦茨—克里斯托费尔积分是formula_26。下图描绘这个映射。其它简单映射. 三角形. 到内角为formula_27，formula_28和formula_29的三角形的映射是 formula_30。正方形. 从上半平面到正方形的映射是 formula_31，其中formula_32是第一类不完全椭圆积分。广义三角形. 施瓦茨三角形映射把上半平面映射到其边是圆弧的三角形。

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