德拉姆上同调

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德拉姆上同调

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数学上，德拉姆上同调（de Rham cohomology）是同时属于代数拓扑和微分拓扑的工具。它能够以一种特别适合计算和用具体的上同调类的方式表达关于光滑流形的基本拓扑信息。它是基于有特定属性的微分形式的存在性的上同调理论。它以不同的确定的意义对偶于奇异同调，以及亚历山大-斯潘尼尔上同调。定义. 任何光滑流形"M"上的光滑微分"k"-形式在加法之下形成一个交换群(实际上也是一个实向量空间，称为 Ω"k"("M") 外导数 "d" 给了以下的映射 "d":Ω"k"("M") → Ω"k"+1("M"). 下面是一个基本的关系 "d" 2 = 0; 这本质上是因为二阶导数的对称性。所以"k"-形式和外导数形成一个上链复形(cochain complex),称为"de Rham复形": formula_1 微分几何术语中，是其它微分形式的外导数的形式称为恰当形式(-- )，而外导数为0的形式称为闭形式(参看闭形式和恰当形式);"d" 2 = 0这个关系说明恰当的微分形式都是闭的. 其逆命题却一般来说不成立；闭形式未必恰当。de Rham上同调的想法就是给一个流形上不同类型的闭形式分类。分类这样进行：称 formula_2中的两个闭形式α 和 β 是上同调的，如果他们相差一个恰当形式，也就是，若formula_3为恰当形式。这个分类导出一个formula_2 中的闭形式空间的一个等价关系。然后定义 "k"阶 de Rham上同调群为 "H""k"dR("M") 等价类的集合，也就是，formula_2中闭形式模恰当形式. 注意，对所有有n个连通分支的流形 "M"， "H"0dR("M") = Rn 其中等号表示同构。这是因为M上导数为零的formula_6函数在每个连通分量上为常数。例. 通常我们可以通过已知的0上同调群和Mayer-Vietoris序列来计算一个流形的其他的德拉姆上同调群。另一个有用的事实是德拉姆上同调是同伦不变量。下面是一些常见拓扑对象的上同调群，但我们没有给出计算步骤: n-球: 对于n-球，或者球和一个开区间的乘积，我们有以下结果。令n > 0, m ≥ 0, 而 I 为一个实开区间. 则: formula_7 n-环面: 类似的，令 n > 0 , 可以得到: formula_8 穿孔欧几里得空间: 穿孔欧几里得空间就是拿掉原点的欧几里得空间。对于n > 0, 我们有: 莫比乌斯带(Möbius strip), M: 大致来说，下面的结果或多或少是因为莫比乌斯带可"收缩(contract)"为一个1-球(圆): formula_9 调和形式. 若"M"是一个紧黎曼流形，则每个"H""k"dR("M") 中的等价类包含恰好一个调和形式。也就是说，给定闭形式的等价类的任一代表 ω可以写为 formula_10 其中 α 是一个形式，而γ 是调和的: Δγ=0. 注意一个紧黎曼流形上的调和函数是一个常数。这样，这个特殊的代表元素可以视为流形上所有上同调等价的形式中的一个极值(极小值)。例如，在2-圆环上，一个常1-形式可以视为在一个形式，它所有的"毛"都整齐的梳到一个方向(而且所有的毛都一样长)。这个情况下，这表示2维环的第一贝蒂数是2。更一般的，在一个n维环"T"n上，可以考虑"k"-形式的各种不同的梳理。有"n"取"k"种不同的梳理用来建立 "H""k"dR("T"n)的一个基; 因此n-环的第"k"Betti数就是"n"取"k"。更精确的讲，对于一个微分流形"M"，可以装备一个附加的黎曼度量。这样拉普拉斯算子 Δ可以定义为 formula_11 其中"d"是外导数而 δ 是余微分。拉普拉斯算子是齐次的(在分次中)线性微分算子作用在微分形式的外代数上：我们可以分别来看它在每个"k"阶分量上的作用。若"M"为紧且可定向，拉普拉斯算子在k-形式的空间上的核的维度和"k"阶德拉姆上同调群的维度相同(根据霍奇理论:拉普拉斯算子从闭形式的每个上同调类中挑出唯一的一个"调和"形式。特别的，所有"M"上的调和"k"-形式同构于 "Hk"("M";R). 每个这种空间的维度都有限，并有"k"阶贝蒂数给出。 Hodge 分解. 令 δ 为余微分(codifferential),我们称形式ω 是上闭的(co-closed)如果δω=0 而称其为上恰当(co-exact)。若对于某个形式 α，有ω=δα 。Hodge分解表明任意k-形式 ω 可以分解为3个L2 分量: formula_12 其中 γ 为调和的: Δ γ = 0. 这是因为恰当和上恰当形式互相正交；他们的正交补就是同时恰当和上恰当的形式:也就是，调和形式。这里，正交性由formula_2上的L2内积定义: formula_14 精确的定义和分解的证明需要用索伯列夫空间来表述。主要的思想就是Sobolev空间提供了平方可积性和微分形式的柯西列收敛到极限形式的自然设置。这个语言使得我们得以克服紧支撑这样的限制，就像在亚历山大-斯潘尼尔上同调中那样。德拉姆定理. 德拉姆定理, 由乔治·德拉姆在1931年证明，它表明对于一个紧致可定向光滑流形"M",群"H""k"dR("M")同构于具有奇异上同调群 "Hk"("M";R). 的实向量空间。楔积赋予这些群的直和一个环结构。定理的进一步结果是这两个上同调环(作为分次环)是同构的。一般化的斯托克斯定理是德拉姆上同调和链的同调群的对偶性的表达。

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