施瓦茨引理
数学上，施瓦茨引理（Schwarz lemma）是复分析中关于定义在单位开圆盘的全纯函数的一个结果，以赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨命名。这引理不及其他结果有名（例如黎曼映射定理，其证明有用到这引理），但却是能显示全纯函数的刚性的一个简单结果。对于实函数则没有类似的结果。
陈述.
设formula_1是复平面上以原点为圆心的单位开圆盘。全纯函数formula_2满足formula_3，则对任意formula_4，formula_5且formula_6。此外，如果存在formula_7使得formula_8，或者formula_9，则f是一个旋转formula_10，其中formula_11。
施瓦茨引理表明，若formula_12是从单位圆盘到单位圆盘的解析映射，且原点formula_13为其不动点，则像点formula_12到原点的距离比formula_7到原点的距离近。如果有一点使得这两个距离相等，那么formula_12就一定是一个旋转。如果在单位圆盘内画一个圆心在原点的圆（半径小于1），那么这个圆在formula_12映射下的像一定在这个圆所包围的区域内部。
证明.
证明直接应用最大模原理，设
formula_18
则函数formula_19在formula_20内全纯，包括原点（由于"f"(0) = 0且"f"是全纯函数）。设formula_21为圆心在原点半径为formula_22的闭圆盘。根据最大模原理，对任意formula_23存在边界上一点formula_24，使得：
formula_25
当"r"趋于1时，得到|"g"("z")| ≤ 1。
而且，如果在formula_20内存在某个不为0的"z"0，使得"g"("z"0) = 1，那么把最大模原理应用于"g"，可得"g"是常数，因此"f"("z") = "kz"，其中"k"是常数且|"k"| = 1。这在当|"f" '(0)| = 1时也是正确的。
施瓦茨-皮克定理.
施瓦茨引理有一个变体称为施瓦茨-皮克定理（Schwarz-Pick theorem），刻画了单位圆盘的解析自同构（即单位圆盘到自身的全纯双射）的特性。
设formula_27 全纯。那么，对所有formula_28，
formula_29，
并且，对任意formula_4，
formula_31。
以下表达式
formula_32
是庞加莱度量下两点formula_33的距离。庞加莱度量就是二维双曲几何的庞加莱圆盘模型的度量。这定理本质上就是说单位圆盘到自身的全纯映射会减小各点之间的庞加莱距离。若以上两不等式有一式的等号成立（就是说这个全纯映射保持庞加莱度量下的距离），那么"f"一定是单位圆盘的解析自同构，由单位圆盘到自身的莫比乌斯变换所给出。
关于上半平面formula_34有一个相似的命题：
设formula_35全纯。那么，对所有formula_36，
formula_37，
这是上面提到的施瓦茨-皮克定理的简单推论：只要注意到凯莱变换formula_38把上半平面formula_34共形地映为单位圆盘formula_20。则formula_41是formula_20到自身的全纯映射，对这个映射使用施瓦茨-皮克定理，并化简，就能得到想要的结果。还有，对所有formula_43
formula_44
若以上两个不等式中有一式等号成立，那么formula_45必是实系数的莫比乌斯变换。也就是说，若等号成立，则有
formula_46，
其中formula_47是实数，并且formula_48。
施瓦茨-皮克定理的证明.
以下形式的莫比乌斯变换
formula_49
把单位圆映到自身。固定formula_50并定义莫比乌斯变换
formula_51
由于formula_52，且莫比乌斯变换是可逆的，所以复合formula_53把0映为0，把单位圆盘映到自身。从而可以使用施瓦茨引理，得到
formula_54
记formula_55，就得到想要的结论
formula_29
要证明定理的第二部分，把上式左边整理成差商的形式
formula_57
令formula_58趋向于formula_59即得。
进一步的推广与相关结果.
施瓦茨-阿尔福斯-皮克定理给出对双曲流形的类似结果。
De Brange定理，以前称为Bieberbach猜想，是该引理的一个重要推广。
Koebe四分之一定理，给出了f是单值的情况下的一个相关的估计。
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