有理数
有理数
数学上，可以表达为两个整数比的数（formula_1, formula_2）被定义为有理数，例如formula_3，0.75(可被表达为formula_4)；整数和整数分数统称为有理数。
与有理数相对的是无理数，如formula_5无法用整数比表示。
有理数与分数形式的区别，分数形式是一种表示比值的记法，如 分数形式formula_6是无理数。
所有有理数的集合表示为Q，Q+,或formula_7。定义如下：
formula_8
有理数的小数部分有限或为循环。不是有理数的实数遂称为无理数。
词源.
有理数在英文中称作rational number，来自拉丁语rationalis，意为理性的；词根ratio，拉丁语意为理性、计算。代表“比例”的英文ratio一词在历史上出现得要比有理数（rational number）一词更晚，前者最早有记录是1660，而后者是1570年。
运算.
有理数集对加、减、乘、除四则运算是封闭的，亦即有理数加、减、乘、除有理数的结果仍为有理数。有理数的加法和乘法如下：
formula_9
两个有理数formula_1和formula_11相等当且仅当formula_12
有理数中存在加法和乘法的逆：
formula_13时，formula_14
古埃及分数.
古埃及分数是分子为1、分母为正整数的有理数。每个有理数都可以表达为有限个两两不等的古埃及分数的和。例如：
formula_15
对于给定的正有理数，存在无穷多种表达成有限个两两不等的古埃及分数之和的方法。
形式构建.
数学上可以将有理数定义为建立在整数的有序对上formula_16的等价类，这里formula_17不为零。我们可以对这些有序对定义加法和乘法，规则如下：
formula_18
formula_19
为了使formula_20，定义等价关系formula_21如下：
formula_22
这种等价关系与上述定义的加法和乘法上是一致的，而且可以将Q定义为整数有序对关于等价关系~的商集：formula_23。例如：两个对formula_24和formula_25是相同的，如果它们满足上述等式。（这种构建可用于任何整数环，参见商域。）
定义大小.
Q上的大小可以定义为：
formula_26当且仅当
# formula_27并且formula_28
# formula_29并且formula_30
然后formula_31是指formula_32但formula_33。亦可在“小于”概念之上引入“大于”的概念，即：formula_34。此排序中，每一对有理数formula_35之间皆可比较，必有且仅有以下关系之一：
formula_36，formula_37，formula_38，则formula_39。所以以上定义的大小关系是全序关系。
有理数集的序还满足：若formula_40，满足formula_39，且c。
性质.
集合formula_7，以及上述的加法和乘法运算，构成域，即整数formula_43的商域。
有理数是特征为0的域最小的一个：所有其他特征为0的域都包含formula_7的一个拷贝（即存在一个从formula_7到其中的同构映射）。
formula_7的代数闭包，例如有理数多项式的根的域，是代数数域。
所有有理数的集合是可数的，亦即是说formula_7的基数（或势）与自然数集合formula_48相同，都是阿列夫数formula_49，这是因为可以定义一个从有理数集formula_7映至自然数集合的笛卡尔积 formula_51的单射函数，而formula_51是可数集合之故。因为所有实数的集合是不可数的，所以从勒贝格测度来看，可以认为绝大多数实数不是有理数。
有理数的序是个：任何两个有理数之间存在另一个有理数，事实上是存在无穷多个。此外，有理数集也没有最大和最小元素，所以是无端点的可数稠密全序（--
）。说明，任何无端点的可数稠密全序必定序同构于有理数的序，换言之，若不辨同构之异，则有理数的大小序是唯一具此性质的序结构。
实数.
有理数是实数的稠密子集：每个实数都有任意接近的有理数。一个相关的性质是，仅有理数可化为有限连分数。
依照它们的序列，有理数具有一个序拓扑。有理数是实数的（稠密）子集，因此它同时具有一个子空间拓扑。采用度量formula_53，有理数构成一个度量空间，这是formula_7上的第三个拓扑。幸运的是，所有三个拓扑一致并将有理数转化到一个拓扑域。有理数是非局部紧致空间的一个重要的实例。这个空间也是完全不连通的。有理数不构成完备的度量空间；实数是formula_7的完备集。
"p"进数.
除了上述的绝对值度量，还有其他的度量将formula_7转化到拓扑域：
设formula_57是素数，对任何非零整数formula_58设formula_59，这里formula_60是整除formula_58的formula_57的最高次幂；
另外formula_63。对任何有理数formula_1，设formula_65。
则formula_66在formula_7上定义了一个度量。
度量空间formula_68不完备，它的完备集是"p"进数域formula_69。
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