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MV-代数

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在纯数学分支抽象代数中，MV-代数（多值代数）是带有二元运算 formula_1、一元运算 formula_2 和常量 formula_3 的满足特定公理的代数结构。多值逻辑是 MV-代数的模型。定义. 设 "A" 是个集合。MV-代数是代数结构，带有型 formula_4 的标识(signature) formula_5，它满足如下恒等式：备注：通过前三个公理 formula_12 是交换幺半群。或者作为替代，MV-代数是一个剩余格 formula_13 满足额外恒等式 formula_14。 Hájek (1998)描述了这两个公式的等同。例子. 一个简单的例子是 formula_15，带有定义为 formula_16 和 formula_17 的运算。讨论. 在多值逻辑中，给定一个 MV-代数 A，一个 A-赋值就是从命题演算中公式的集合到 MV-代数的函数。如果对于所有 A-赋值这个函数把一个公式映射到 1（或 formula_180），则这个公式是一个 A-重言式。因此对于无穷值逻辑（比如模糊逻辑、武卡谢维奇逻辑），我们设 [0,1] 是 A 的下层集合来获得 [0,1]-赋值和 [0,1]-重言式（经常就叫做赋值和重言式）。 Chang 发明 MV-代数来研究波兰数学家扬·武卡谢维奇（-- ）在 1920 年介入的多值逻辑。Chang 的完备定理(1958, 1959) 声称任何在 [0,1] 区间成立的 MV-代数等式也在所有 MV-代数中成立。通过这个定理，证明了无穷值的武卡谢维奇逻辑可以被 MV-代数所刻画。后来同样适用于模糊逻辑。这类似于在 {0,1} 成立的布尔代数等式在任何布尔代数中也成立，布尔代数因此刻画了标准二值逻辑。

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