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群作用

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数学上，对称群描述物体的所有对称性。这是通过群作用的概念来形式化的：群的每个元素作为一个双射（或者对称作用）作用在某个集合上。在这个情况下，群称为置换群（特别是在群有限或者不是线性空间时）或者变换群（特别是当这个集合是线性空间而群作为线性变换作用在集合上时）。一个群"G"的置换表示是群作为一个集合的置换群的群表示（通常该集合有限），并且可以表述为置换矩阵，一般在有限的情形作此考虑－这和作用在有序的线性空间基上是一样的。定义. 若formula_1为一个群而formula_2为一个集合，则formula_1在formula_2上的一个(左) 群作用是一个二元函数 formula_5 (其中formula_6和formula_7的像写作formula_8)，满足如下两条公理：从这两条公理，可以得出对于每个formula_6，映射formula_7到formula_8的函数是一个双射(单射以formula_19应付，满射以formula_14应付），从formula_2映射到formula_2。因此，也可以将formula_1在formula_2上的群作用定义为从formula_1到对称群formula_26的群同态。若群作用formula_5给定，我们称“G作用于集合X”或者"X"是一个"G"-集合。完全一样地，可以定义一个"G"在"X"上的右群作用为函数formula_28，满足以下公理：注意左和右作用的区别仅在于象"gh"这样的积在"x"上作用的次序。对于左作用"h"先作用然后是"g"，而对于右作用"g"先作用然后是"h"。从一个右作用可以构造一个左作用，只要和群上的逆操作复合就可以了。如果"r"为一右作用，则 formula_31 是一左作用，因为 formula_32 而 formula_33 所以在这里，我们只考虑左群作用，因为右作用可以相应推理。群作用的种类. 群G作用在集合X上的作用称为: 轨道与稳定化子. 轨道. 若formula_40是formula_2的一个元素，且群formula_1在formula_2上有著一个作用，那么formula_40的轨道formula_45就是指以下列方式定义的formula_2的子集： formula_47 formula_2的两个轨道，要不彼此相等，要不然其交集就是空集合。这是因为假如两个轨道formula_45和formula_50有一个共通元素formula_51，那么就可以找到两个formula_1中的元素formula_53和formula_54，使得formula_55、formula_56，同时有formula_57，反之亦可推出formula_58，而这使得这两个集合所有的元素都相等。一个轨道的例子是陪集，假若formula_59是formula_1的一个子集，且定义formula_1中元素的惯常运算规则为formula_59在formula_1上的一个作用，那么formula_59的陪集formula_65(formula_66)就是formula_51的轨道。不变子集. 若S是X的一个子集，群G作用在X上( X 被称作G-set)，对于群G中的所有元素 g，以及所有S中的元素 x，有著 formula_68，则我们会说 S在G的作用下是封闭的，或是说，S在G作用下是不变的不动点与稳定子群. 若formula_40是formula_2的一个元素，对于群formula_1中的所有元素formula_72而言，都有formula_73，那么就称formula_40是formula_1-不变的（formula_1-invariant）。另外若formula_40是formula_2的一个元素，则所有使得formula_73的formula_1中的元素formula_72构成的集合又称formula_1对于formula_40的稳定子群（stabilizer subgroup of formula_1 with respect to formula_40），一般常常将之记作formula_86(注意：不要将之与上面轨道的符号混淆)。 formula_86是formula_1的一个子群，因为根据定义formula_89，因此formula_1的单位元formula_14属于formula_86，且假若formula_93，那么formula_53的逆元formula_95也是formula_86的元素，因为formula_97。轨道－稳定点定理与伯恩赛德引理. 考虑一个映射formula_98 可以证明此映射是一个双射的函数，而这个映射的结论就是所谓的轨道-稳定点定理 formula_99 而一个跟轨道-稳定点定理相似的结果就是伯恩赛德引理，formula_100

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