外延公理
外延公理
在公理化集合论与使用它的逻辑、数学和计算机科学分支中，外延性公理或外延公理（）是 Zermelo-Fraenkel 集合论的公理之一。
形式陈述.
在 Zermelo-Fraenkel 公理的形式语言中，它读做:
formula_1
换句话说:
给定任何集合formula_2和任何集合formula_3，formula_2等于"formula_3"，当且仅当给定任何集合formula_6，formula_6是formula_2的一个成员当且仅当formula_6是"formula_3"的一个成员。
（这里的formula_6是集合不是本质性的，但在ZF中所有东西都是集合。参见下面的带有基本元素的集合论章节）。
解释.
要理解这个公理，注意上述符号陈述中圆括号内的子句简单的声称了 "A" 和 "B" 有完全相同的成员。所以，这个公理实际上说的是两个集合相等，当且仅当它们有完全相同的成员。它的本质是:
集合唯一的由它的成员来决定。
外延性公理可以同 formula_12 形式的概括陈述一起使用，这里的formula_13是不提及formula_2或formula_6的任何一元谓词，来定义一个唯一集合formula_2，它的成员完全是满足谓词formula_13的集合。我们可以接着为formula_2介入新的符号；普通数学中的定义最终以这种方式工作的，当它们的陈述简化到纯集合论术语的时候。
外延性公理一般被认为是无可争议的，它或它的等价命题出现在所有可替代的集合论的公理化中。但是对于某些使用需要修改。
在没有等号的谓词逻辑中.
上面给出的公理假定等号是谓词逻辑的基本符号。某些公理化集合论的做法是不做这个假定：有的不把上述陈述作为公理，而是作为对等号的定义。那么，就必须连同来自谓词逻辑中有关等式的公理，作为关于这个被定义的符号的公理。多数等式的公理仍能从这个定义得出；余下的一个是
formula_19
而这就成为了所谓的外延性公理。
在有基本元素的集合论中.
基本元素是自身不是集合的一个集合的一个元素。在 Zermelo-Fraenkel 公理中没有基本元素，但在某些可替代的集合论的公理化中会有它们。基本元素可以被当作不同于集合的逻辑类型；在这种情况下，如果formula_2是基本元素，则formula_21没有意义，所以外延性公理只适用于集合。
作为选择之一，在无类型逻辑中我们可以要求formula_21在formula_2是基本元素的时候为假。在这种情况下，平常的外延性公理将蕴涵所有基本元素等于空集。为了避免这样，我们可以修改外延性公理为只适用于非空集合，并把它读为:
formula_24
就是说:
给定任何集合formula_2和任何集合"formula_3"，如果formula_2是非空集合(就是说存在着formula_2的一个成员formula_6)，那么formula_2和"formula_3"是相等的，当且仅当它们有完全相同的成员。
另一个选择，在无类型逻辑中可定义formula_2在formula_2是基本元素的时候自身是formula_2的唯一的元素。尽管这个方式可以胜任保存外延性公理，但基础公理反而需要调整。
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