圆锥曲线 圆锥曲线（英语：conic section），又称圆锥截痕、圆锥截面、二次平面曲线，是数学、几何学中透过平切圆锥（严格为一个正圆锥面和一个平面完整相切）得到的曲线，包括圆，椭圆，抛物线，双曲线及一些退化类型。 圆锥曲线在约西元前200年时就已被命名与研究，其发现者为古希腊的数学家阿波罗尼奥斯，当时阿波罗尼阿斯已对它们的性质做过系统性的研究。 圆锥曲线应用最广泛的定义为（椭圆，抛物线，双曲线的统一定义）：动点到一定点（焦点）的距离与其到一定直线（准线）的距离之比为常数（离心率formula_1）的点的集合是圆锥曲线。对于formula_2得到椭圆，对于formula_3得到抛物线，对于formula_4得到双曲线。 定义. 设formula_5为定点，formula_6为定直线，formula_1为正常数，称满足formula_8的动点formula_9的轨迹为圆锥曲线。 其中formula_5为其焦点，formula_6为准线，formula_1为离心率。 由此可知，圆锥曲线的极坐标参数方程为formula_13或formula_14（正负号由所选焦点与定直线所处的位置不同而引起）。 其中formula_15为formula_16与极轴的夹角，formula_17为定直线formula_18，即准线到焦点的距离。 将参数方程转换成直角坐标方程易得， 当formula_3时，曲线为抛物线。 当formula_20时， 当formula_2时，曲线为椭圆。 当formula_4时，曲线为双曲线。 圆锥曲线的类型. 椭圆，圆：当平面只与圆锥面一侧相交，交截线是闭合曲线的时候，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。如果截面与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。 抛物线：截面仅与圆锥面的一条母线平行，结果为抛物线。 双曲线：截面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线。 在平面通过圆锥的顶点的时候，有一些退化情况。交截线可以是一个直线、一个点、或一对直线。 几何性质. 椭圆（ellipse）. 椭圆上的点到两个焦点的距离和等于长轴长（2a）。 抛物线（Parabola）. 抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离。 双曲线（Hyperbola）. 双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值等于贯轴长（2a）。 离心率. 对于椭圆和双曲线，可以采用两种焦点-准线组合，每个都给出同样完整的椭圆或双曲线。从中心到准线的距离是formula_23，这里的formula_24是椭圆的半长轴，或双曲线的半实轴。从中心到焦点的距离是formula_25。 在圆的情况下，formula_26且准线被假想为离中心无限远。这时声称圆由距离是到L的距离的e倍的所有点组成是没有意义的。 圆锥曲线的离心率因此是对它偏离于圆的程度的度量。 对于一个给定的formula_24，formula_28越接近于1，半短轴就越小。 笛卡尔坐标. 在笛卡尔坐标系内，二元二次方程的图像可以表示圆锥曲线，并且所有圆锥曲线都以这种方式引出。方程有如下形式 formula_29 此处参数formula_30，formula_31和formula_32不得皆等于formula_33。 矩阵表示. 上述方程可以使用矩阵表示为 formula_34 亦可以写作 formula_35 这是在射影几何中使用的齐次形式的一个特例。 (参见齐次坐标) 下文中记formula_36，记formula_37。 类别. 借由formula_38，我们可以判定圆锥曲线是否退化。 若圆锥曲线未发生退化，则 若圆锥曲线发生退化，则 在此处的表达中，formula_72和formula_73为多项式系数，而非半长轴formula_72和半短轴formula_73。 不变量. 矩阵formula_38、formula_77的行列式，以及formula_78（formula_77的迹）在任意的旋转和座标轴的交换中保持不变。 :60–62页 常数项formula_5以及formula_81仅在旋转中保持不变。:60–62页 离心率. formula_40的离心率可被写作关于formula_40系数的函数。 若 formula_53，formula_40为 抛物线，其离心率为1。其它情况下，假设formula_40表达一个未退化的椭圆或双曲线，那么 formula_87 此处若formula_88为负则formula_89；若formula_88为正则formula_91。 此外，离心率formula_1也是下述方程的一个正根:89页 formula_93 此处 formula_94 。对于椭圆或抛物线，该方程只有一个正根，即其离心率；对于双曲线，其有两个正根，其中的一个为其离心率。 转换为标准方程. 对于椭圆或双曲线，formula_40可用变换后的变量formula_96表示为如下所示的标准形式 formula_97 或等价的 formula_98 此处，formula_99和formula_100为formula_101的特征值，也即下述方程的两根： formula_102 同时，formula_103，formula_104。 透过座标变换，各种类型的圆锥曲线都可以表示为其标准形式： 极坐标. 圆锥曲线的半正焦弦（semi-latus rectum）通常指示为formula_105，是从单一焦点或两个焦点中的一个，到圆锥曲线自身的，沿着垂直于主轴（长轴）的直线度量的距离。它有关于半长轴formula_106，和半短轴formula_107，通过公式formula_108或formula_109。 在极坐标系中，圆锥曲线有一个焦点在原点，如果有另一个焦点的话它在正"x"轴上，给出自方程 formula_110， 或者， formula_111， 如上，对于formula_26得到一个圆，对于formula_2得到椭圆，对于formula_3得到抛物线，对于formula_4得到双曲线。 齐次坐标. 在齐次坐标下圆锥曲线可以表示为： formula_116 或表示为矩阵： formula_117 矩阵formula_118叫做“圆锥曲线矩阵”。 formula_119叫做圆锥曲线的行列式。如果formula_120则这个圆锥曲线被称为退化的，这意味着圆锥曲线是两个直线的联合（两相交直线，两平行直线或两重合直线）或一点。。 例如，圆锥曲线formula_121退化为两相交直线：formula_122。 类似的，圆锥曲线有时退化为两重合直线（两直线重合成一条）: formula_123。 formula_124被称为圆锥曲线的判别式。如果formula_125则圆锥曲线是抛物线，如果formula_126则是双曲线，如果formula_127则是椭圆。如果formula_127且formula_129，圆锥曲线是圆；如果formula_126且formula_131，它是直角双曲线。可以证明在复射影平面formula_132中，两个圆锥曲线共有四个点（如果考虑重根），所以永不多于4个交点并总有1个交点（可能性：4个不同的交点，2个单一交点和1个双重交点，2个双重交点，1单一交点和1个三重交点，1个四重交点）。如果存在至少一个重根formula_133的交点，则两个圆锥曲线被称为相切的。如果只有一个四重交点，两个圆锥曲线被称为是共振的。 进一步的，每个直线与每个圆锥曲线相交两次。如果两交点是重合成一点，则这个线被称为切线。因为所有直线交圆锥曲线两次，每个圆锥曲线有两个点在无穷远（与无穷远线的交点）。如果这些点是实数的，圆锥曲线必定是双曲线；如果它们是虚共轭，圆锥曲线必定是椭圆，如果圆锥曲线有双重点在无穷远，则它是抛物线。如果在无穷远的点是formula_134和formula_135，则圆锥曲线是圆。如果圆锥曲线有一个实数点和一个虚数点在无穷远，或它有两个不共轭的虚数点，它不是抛物线、不是椭圆、不是双曲线。